V = S = P • Nikolay Avilov • Masalah sains popular mengenai "Unsur" • Matematik

V = S = P

Tugas

Ada di sana adalah polyhedron cembung yang nilai berangka isipadu, luas permukaan, dan jumlah panjang semua tepi bertepatan?


Petunjuk

Contohnya, terdapat polistirron, antara prisma yang betul.


Penyelesaian

Berikutan petunjuk, cari prisma yang sesuai. Prisma yang betul ditentukan oleh nombor tersebut n sisi poligon asas a dan tinggi h.

Jumlah panjang semua tepinya ialah:

\ [P = 2na + nh. \]

Oleh kerana asas poligon adalah tetap, kawasannya, seperti mudah dicari, adalah \ (\ frac14na ^ 2 \ mathrm % \, \ frac {\ pi} n \). Sekarang mudah untuk mencari parameter prisma yang lain yang muncul dalam masalah ini.

Jumlahnya V bersamaan dengan:

\ [V = \ frac14na ^ 2 \ mathrm % \, \ frac {\ pi} n \ cdot h. \]

Kawasan permukaan S bersamaan dengan:

\ [S = \ frac12na ^ 2 \ mathrm % \, \ frac {\ pi} n + nah. \]

Daripada persamaan V = S kita dapati bahawa \ (a \ cdot \ mathrm % \, \ frac {\ pi} n = \ frac % {h-2} \). Jadi h > 2. Anda juga boleh menulis semula ungkapan untuk jumlah dalam bentuk \ (V = \ frac14na \ cdot \ frac % {h-2} \ cdot h = \ frac {nah ^ 2} {h-2} \).

Daripada persamaan V = P hubungan \ (a = \ frac {h ^ 2-2h} {h ^ 2-2h + 4} \) dan

\ (\ mathrm % \, \ frac {\ pi} n = \ frac % {a (h-2)} = \ frac {4 (h ^ 2-2h + 4) ) ^ 2} = 4 + \ frac % {(h-2) ^ 2}. \)

Ia jelas bahawa fungsi \ (f (x) = \ frac % {(x-2) ^ 2} \) pada selang \ ((0; \; {+ \ infty}) \) mengambil semua nilai positif tiada yang lain). Oleh itu, syarat yang diperlukan dan mencukupi bagi kewujudan prisma yang dicari adalah: pemenuhan ketidaksamaan \ (\ mathrm % \, \ frac {\ pi} n> 4 \), yang benar untuk \ (n> 12 \).


Selepas perkataan

Mari kita lihat apa yang berlaku dalam keadaan yang sama di dalam pesawat. Sebagai contoh, dalam 4 × 4 persegi, nilai-nilai berangka kawasan dan perimeter adalah sama. Harta yang sama dimiliki oleh segi tiga 3 × 6 dan segi tiga tepat dengan kaki 5 dan 12 (Rajah 1).

Rajah. 1.

Seperti yang anda ketahui, segi empat tepat bukanlah satu angka yang tegar: jika anda meletakkan engsel pada simpulnya, ia tidak akan ditetapkan oleh mereka sendiri (seperti, misalnya, berlaku dalam segi segitiga atau tetrahedron). Dengan menggunakan ini, dapat ditunjukkan bahawa terdapat suatu jajaran paralelogram dengan nilai sama kawasan dan perimeter. Ia mudah untuk mencari segi empat tepat yang kawasannya lebih besar daripada perimeter: persegi panjang dengan sisi 8 dan 5 akan sesuai.Jika anda secara beransur-ansur mengurangkan salah satu sudut tepat dari segi empat tepat dari 90 ° hingga 0 °, maka, pertama, segi empat tepat akan segera berubah menjadi rentetan, perimeter kekal sama dengan 26, dan kedua, kawasannya akan terus berkurang dari 40 hingga 0, dan pada satu ketika ia akan menjadi sama dengan 26. Ini akan menjadi paralelogram yang diperlukan. Proses ini ditunjukkan dalam model bingkai segiempat tepat (Rajah 2). Sudah jelas bahawa paralelogram sedemikian banyak sekali.

Rajah. 2

Kami menunjukkan bahawa terdapat segitiga yang tidak terhingga, di mana nilai berangka kawasan dan perimeter adalah sama.Kami membahagikan semua segitiga ke dalam kelas, masing-masing mengandungi semua segitiga serupa. Ternyata di setiap kelas itu terdapat segitiga, di mana nilai-nilai numerik kawasan dan perimeter adalah sama. Pertimbangkan salah satu segitiga kelas. Biarkan kawasannya menjadi S1dan perimeter itu P1, maka segi tiga sama dengan pekali k mempunyai kawasan S2 = k2S1 dan perimeter P2 = kP1. Jika sebagai pekali kesamaan mengambil k = P1/S1maka kita akan mendapat segitiga dengan \ (S_2 = P_2 = \ frac {P_1 ^ 2} {S_1} \). Apa yang diperlukan.

Sebagai contoh, ambil segitiga Mesir. Perimeternya adalah \ (P_1 = 3 + 4 + 5 = 12 \), dan kawasan \ (S_1 = \ frac12 \ cdot3 \ cdot4 = 6 \). Segitiga serupa dengan pekali kesamaan 2 akan mempunyai harta yang ditunjukkan: ia adalah segi tiga tepat dengan kaki 6 dan 8 (gambar 3, kiri). Segitiga sama sisi juga boleh dipertimbangkan. Antaranya, harta yang diperlukan mempunyai segi tiga dengan sisi \ (4 \ sqrt % \): kawasan dan perimeternya sama dengan \ (12 \ sqrt % \).

Rajah. 3

Ber Arguing dengan cara yang sama, dapat ditunjukkan bahawa dalam setiap kelas poligon yang sama terdapat satu di mana nilai-nilai numerik kawasan dan perimeter adalah sama.

Dalam ruang tiga dimensi, adalah semulajadi untuk menambah keadaan pada kesamaan volum, seperti yang telah dilakukan dalam penyataan masalah.Dari penyelesaian itu jelas bahawa tidak semua "jenis" dari polyhedron membolehkan kesamaan volum, luas permukaan, dan panjang total tepi: antara yang betul n– prisma kereta api n <12 tidak ada.

Khususnya, tidak ada kiub seperti itu dan paralelepiped segi empat tepat (kerana ini adalah prisma segi empat). Walau bagaimanapun, untuk polyhedra itu, mudah untuk membuat pemeriksaan kepala. Sebagai contoh, untuk kiub ia dilakukan seperti ini. Cube dengan kelebihan a mempunyai kelantangan V = a3kawasan permukaan S = 6a2 dan jumlah panjang tepi P = 12a. Jika S = P, kemudian 6a2 = 12aitu a = 2. Tapi kemudian S = P = 24, dan V = 8.

Walau bagaimanapun, bagi sesetengah polyhedra, penalaran yang serupa dengan segitiga boleh berfungsi. Jika kita menganggap semua polyhedra seperti ini, maka jumlah panjang tepi akan berubah mengikut kadar ke tahap pertama pekali kesamaan, kawasan permukaan akan berkadar dengan tahap kedua, dan jumlahnya akan berkadar dengan tahap ketiga. Iaitu, masalah itu akan mengurangkan soalan ini: adakah garis yang sama, parabola dan kiub berpotongan pada satu titik? Mengubah bentuk polieter dalam formulasi sedemikian sepadan dengan peralihan lengkung-lengkung ini dalam satah.Dan agak jelas bahawa dalam beberapa kes, mereka boleh diposisikan supaya mereka bersilang pada satu titik. Tetapi adakah mungkin untuk secara ringkasnya dapat menghuraikan semua polyhedra yang berkaitan? … Jika anda mempunyai idea mengenai subjek ini – tulis di komen untuk masalah!


Like this post? Please share to your friends:
Tinggalkan Balasan

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: