Tiga dalam Satu • Evgeny Epifanov • Masalah sains popular di "Unsur" • Matematik

Tiga dalam satu

Tugas

Dalam berapa banyak cara bolehkah anda memotong persegi menjadi tiga persegi panjang, yang masing-masing sama dengan yang lain? Ingat bahawa dua segi empat tepat adalah sama jika kedua-dua belah pihak bersambung dengan satu sama lain dengan cara yang sama seperti sisi kedua. Cara-cara yang berbeza hanya dalam putaran atau refleksi satu persegi dikira sebagai satu.


Petunjuk

Tiga segi empat tepat tidak banyak, jadi anda boleh menyusun kes-kes lokasi mereka di dataran dan periksa sama ada segi empat sama boleh sama dalam setiap kes.


Penyelesaian

Jika anda sedikit menarik bahagian-bahagian persegi menjadi tiga segi empat tepat untuk memahami bagaimana ia boleh diletakkan di dalamnya sama sekali, maka anda dengan cepat boleh sampai pada kesimpulan bahawa hanya terdapat dua kes yang berbeza (sehingga bertukar persegi). Sesungguhnya, tiga, dua atau satu segi empat tepat mungkin bersebelahan dengan sisi atas dataran. Sekiranya terdapat tiga daripada mereka, maka konfigurasi yang ditunjukkan dalam rajah. 1 kiri. Jika dua, maka – konfigurasi yang ditunjukkan dalam angka ini di sebelah kanan. Sekiranya hanya satu persegi panjang bersebelahan dengan bahagian atas, dua yang lain terletak di bawahnya, dan sebelahnya sama ada mendatar (dan kemudiannya sama dengan konfigurasi pertama) atau menegak (maka ia sama dengan konfigurasi kedua).

Rajah. 1.

Ia segera jelas mengenai konfigurasi pertama yang ketiga segi empat sama sama dengan satu sama lain: dengan keadaan mereka mestilah serupa, tetapi dari susunan itu ternyata mereka adalah samakira-kirapihak yang baik.

Kami akan memahami konfigurasi kedua. Kita akan pertimbangkan orientasi segi empat tepat adalah arah sisi yang lebih panjang (jelas bahawa kita hanya mempunyai segi empat panjang memanjang yang mempunyai satu sisi lebih lama daripada yang lain). Bagaimanakah dua segi empat teratas boleh berorientasikan?

Mereka tidak boleh menegak (seperti dalam Rajah 1), kerana kemudian mereka akan sama (bkira-kirasisi besar adalah sama), dan oleh itu nisbah bahagian yang lebih besar kepada yang lebih kecil adalah kurang daripada 2 (kerana bahagian yang lebih kecil sama dengan setengah sisi persegi, dan yang lebih besar tidak lebih besar daripada seluruh sisi persegi). Dan pada segi empat tepat yang lebih rendah nisbah ini akan lebih besar daripada 2. Oleh itu, ia tidak boleh sama dengan yang lebih tinggi.

Mereka boleh menjadi kedua-dua mendatar (Rajah 2, kiri). Kemudian kedua-dua segi empat tepat atas adalah sama sekali dan mudah untuk mengira bahawa untuk ketiga-tiga segi empat tepat itu sama, adalah perlu bahawa kedua-dua sisi merawat satu sama lain sebagai 3: 2.

Rajah. 2

Akhirnya, bolehkah salah satu segi empat tepat atasnya mendatar dan yang kedua adalah menegak? Semak ia. Keadaan ini digambarkan dalam Rajah 2 di sebelah kanan.Kami memperkenalkan notasi sebagai angka ini. Memandangkan persamaan segi empat tepat, kita dapati:

\ [BE = \ dfrac1y, \ AD = xy. \]

Oleh kerana sisi segiempat sama, kami mendapat kesamaan:

\ [y + \ dfrac1y = 1 + x = xy. \]

Kesamaan hak membenarkan anda menyatakan y:

\ [y = \ dfrac {1 + x} %, \]

selepas itu persamaan diperoleh dari persamaan kiri

\ [\ dfrac {1 + x} % + \ dfrac % {1 + x} = 1 + x. \]

Ia boleh ditulis semula sebagai

\ [x ^ 3-x-1 = 0. \]

Persamaan padu ini mempunyai satu akar sebenar \ (\ rho \ approx1 {,} 3247 \ ldots \), jadi kes ini direalisasikan. Jadi terdapat tiga cara untuk memotong persegi menjadi segi empat sama.


Selepas perkataan

Oleh kerana formula untuk penyelesaian yang tepat diketahui dengan persamaan kubik, kita dapat memastikan bahawa terdapat akar dan ia adalah satu. Dalam radikal, nombor ini ditulis sebagai:

{\ sqrt %} + \ sqrt [3]

Ia juga boleh ditulis dalam bentuk urutan radikal yang tak terhingga bersarang antara satu sama lain:

[\ rho = \ sqrt [3] {1+ \ sqrt [3] {1+ \ sqrt [3] {\ ldots}}}} \

Menariknya, nombor ini mempunyai "nama" tersendiri: seorang arkitek Belanda (dan biarawan sambilan) Hans van der Laan memanggilnya nombor plastik (nombor plastik). Van der Laan tidak mencipta banyak bangunan dan kebanyakannya adalah gereja-gereja, tetapi karya teoretinya mempunyai berat tertentu. Khususnya, beliau telah membangunkan teori hubungan harmoni antara unsur bangunan,di mana nombor plastik memainkan peranan utama.

Rajah. 3 Bangunan yang direka oleh Hans van der Laan. Di sebelah kiri: Biara Benedictine di Tumell, Sweden. Di sebelah kanan: bahagian dalam biara di Maastricht, Belanda. Foto dari laman web divisare.com

Nama sedemikian dalam ideanya mencerminkan fakta bahawa nombor ini boleh diberikan bentuk "geometri". Kami bertemu satu contoh bentuk sedemikian dalam masalah. Contoh lain timbul seperti berikut. Katakan bahawa terdapat bekalan kotak yang tidak terhad (paralelipiped segi empat tepat) dengan saiz yang berbeza dengan panjang lebar sisi. Mari kita mulakan dengan kotak 1 × 1 × 1, lampirkan satu lagi kotak itu ke sisi kotak – kita dapat kotak 2 × 1 × 1. Kami melampirkannya di hadapan yang sama untuk mendapatkan kotak 2 × 2 × 1. Lampirkan kotak 2 × 2 × 2 ke bahagian bawah untuk membuat kotak 2 × 2 × 3. Kemudian anda perlu meneruskan seperti ini: letakkan kotak-kotak baru secara bergantian dari sisi, depan, bawah, dan pilih saiz mereka supaya dua dimensi (ini adalah dimensi wajah yang dilampirkan pada kotak seterusnya) bertepatan dengan pengukuran kotak semasa, dan dimensi ketiga adalah apa yang diubah pengukuran dua "bergerak" sebelum ini. Langkah pertama ditunjukkan dalam Rajah 4.Sebagai contoh, "bergerak" kelima di sebelah kanan adalah kotak 2 × 2 × 3 dan "panjang" (pengukuran di sepanjang anak panah dalam angka ini) ialah 2, kerana dua langkah sebelum kotak ternyata menjadi "lebar" sama dengan 2 (ini adalah kotak yang betul dalam baris atas).

Rajah. 4 Membina kotak "plastik". Gambar dari Perkara V. W. De Spinadel, A. R. Buitrago Menuju Nombor Plastik van der Laan di Plane

Sekiranya anda meneruskan proses ini, saiz kotak akan meningkat secara semulajadi. Tetapi hubungan sisi mereka ("jiran" panjangnya, seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 4) akan cenderung mempunyai batas terhingga, iaitu nombor plastik.

Idea di sebalik rasional adalah seperti berikut. Ambil perhatian bahawa saiz kotak adalah tiga kali ganda dari nombor bersebelahan dari urutan 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, … Jika kita menyatakan nahli urutan ini Pnkemudian pada n > 3 memegang kesaksamaan Pn = Pn−2 + Pn−3. Lebih tepat lagi, hubungan berulang linear ini menentukan urutan ini, yang dipanggil urutan Padovan. Ternyata seseorang dapat mengekspresikan istilah umum urutan yang berulang melalui akar ciri polinomialnya. Untuk pautan ini, anda boleh mengetahui lebih lanjut mengenai topik ini, kini hanya penting untuk urutan ini polinomial ciri adalah: \ (x ^ 3-x-1 \), dan akar sebenarnya, seperti yang kita tahu, adalah nombor plastik ρ. Oleh itu, dengan cara itu, urutan kuasa nombor ini ialah 1, ρ, ρ2, ρ3, … memenuhi hubungan berulang yang sama (pemerhatian ini sebenarnya mengakibatkan kaedah menyatakan istilah urutan melalui akar polinomial). Polinomial ini mempunyai dua akar kompleks. Jika mereka dilambangkan oleh q dan s, kemudian dengan beberapa pemalar a, b, c kesamaan Pn = an + bqn + csn akan benar dengan semulajadi n. Tetapi sejak akar kompleks q dan s modulo kurang daripada 1, darjah mereka cenderung sifar dengan meningkat n.

Dalam pengertian ini, nombor plastik untuk urutan Padovan adalah sama dengan nombor "arkitek" yang lain (dan jauh lebih terkenal) – bahagian emas – untuk urutan Fibonacci (dan bahagian perak untuk nombor Pell).

Lebih banyak mengenai sifat-sifat nombor plastik boleh didapati dalam artikel V. W. De Spinadel, A. R. Buitrago Menuju van der Laan. Nombor Plastik di Plane.


Like this post? Please share to your friends:
Tinggalkan Balasan

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: