Teori kumpulan adalah sains kesempurnaan. Aksioma kumpulan

Teori Kumpulan – Science of Excellence

Evgeny Vdovin

  • Pengenalan
  • Beberapa takrif awal dan notasi
  • Aksioma kumpulan
  • Contoh kumpulan
  • Kesimpulannya

Aksioma kumpulan

Dalam bahagian ini berakhir teks yang tidak bermula dengan . Dua perenggan berikut adalah paragraf terakhir, yang mana bacaan tidak diperlukan untuk membuat usaha khas.

Pertimbangkan panggung wayang yang sama di bandar daerah N dan mengandaikan bahawa di salah satu sesi itu, pandangan para penonton untuk mengatur pertukaran tiket menurut beberapa peraturan. Sebagai contoh, tempat pertama setiap baris berubah dengan yang kedua, ketiga dengan yang keempat, dan sebagainya. Akibatnya, semua orang berada di satu pihak "dengan sendiri" – semua orang mempunyai tiket, dan sebaliknya – semua orang berjaya mengubah tempat mereka. Jika kita kini bertukar mengikut peraturan lain, maka yang ketiga, maka hasilnya – semua orang mempunyai satu tiket yang sama – tidak akan berubah. Dalam kes ini, arahan pendaratan boleh berubah agak banyak, berbanding dengan awal. Oleh itu, transformasi sedemikian adalah simetri banyak tempat (atau, lebih tepatnya, banyak penonton), dan tidak kira berapa kali kita membawanya keluar, ciri utama yang setiap penonton mempunyai satu tiket tidak akan berubah.Sekiranya pelaksanaan bertukar-tukar tiket dipanggil "pendaraban" (walaupun jauh dari pendaraban sebenar yang kita semua biasa), maka set semua pertukaran dengan "pendaraban" itu membentuk struktur algebra yang sangat penting – sebuah kumpulan. Secara umum, mana-mana kumpulan adalah satu set simetri objek (set) di mana pendaraban diberikan serta ia hanya dilakukan dengan pertukaran tiket – pelaksanaan berturut-turut.

Oleh itu, kumpulan simetri objek adalah lebih besar, lebih banyak simetri yang ada. Mengingat bahawa lebih banyak simetri, semakin sempurna objek itu, kita dapati bahawa saiz kumpulan simetri memainkan peranan ukuran kesempurnaan objek tertentu. Pertimbangkan bentuk biasa di dalam pesawat: segi tiga, segi empat, segi enam dan bulatan. Mereka semua adalah angka simetri, tetapi mereka adalah simetri dalam pelbagai cara. Jadi segi tiga hanya mempunyai enam simetri: putaran di sekitar pusat jisim (titik persimpangan median) pada sudut yang berganda 120 darjah (giliran sedemikian 3), dan refleksi relatif kepada mana-mana mediannya (terdapat 3 refleksi seperti itu). Alun-alun itu sudah mempunyai lapan symmetries: satu pusingan di sekitar pusat (titik persimpangan diagonal) pada sudut yang berganda 90 darjah (sudah ada 4 giliran sedemikian)dan juga simetri berkenaan dengan mana-mana pepenjuru (ada dua daripada mereka) dan mana-mana garis lurus yang menghubungkan titik tengah sisi bertentangan persegi (terdapat juga dua dari mereka). Hexagon itu sudah mempunyai 12 simetri (kami menawarkan pembaca untuk menyenaraikan mereka semua), dan lingkaran simetri mempunyai bilangan tak terhingga – ini adalah giliran pada mana-mana sudut, dan simetri berkenaan dengan mana-mana talian yang melalui pusat bulatan. Oleh itu, angka yang paling sempurna adalah bulatan, maka segi enam, diikuti dengan segi empat dan angka paling sempurna ialah segitiga.

hingga akhir

Biarkan G – satu set sewenang-wenangnya dan mengandaikan bahawa ia diberi beberapa binari (dwi, dari dua argumen) operasi "·", biasanya dipanggil dengan pendarabanyang mana untuk dua elemen a, b daripada set ini bersekutu dengan mereka dengan satu elemen yang dilambangkan oleh a · b atau hanya ab. Dengan unsur ini ab dipanggil produk itu barangan a dan b. Sekiranya ketiga-tiga syarat berikut dipenuhi (dipanggil kumpulan aksiom):

(ГР1)
untuk mana-mana tiga a, b, c daripada G kesamaan sejati (ab)c = a(bc) (undang-undang persatuan);

(GR2)
ada elemen sedemikian ebahawa untuk sebarang item a daripada G kesamaan sejati ae = ea = a (kewujudan unit); elemen sedemikian e dipanggil oleh satu kumpulan;

(ГР3)
untuk apa-apa barang a daripada G ada elemen sedemikian bitu persamaan yang benar ab = ba = e (kewujudan sebaliknya); elemen sedemikian b dipanggil terbalik untuk a dan dilambangkan oleh a-1;

maka banyak G berbanding dengan bentuk operasi pendaraban kumpulan itu. Jika pada masa yang sama satu lagi aksiom dipenuhi:

(ГР4)
untuk sebarang barangan a, b daripada G kesamaan sejati ab = ba (undang-undang komutatif),

maka kumpulan itu dipanggil komutatif atau abelian. Contoh-contoh pelbagai kumpulan, serta situasi semula jadi di mana kumpulan muncul, kami akan memetik di bawah. Contoh-contoh yang jelas adalah set integer dengan tambahan, set nombor rasional nonzero dengan pendaraban, dan sebagainya. Kami perhatikan beberapa kesan mudah dari aksioma kumpulan: unsur unit dan elemen songsang ditentukan secara unik. Sesungguhnya, ada dua elemen unsur e1, e2, maka penerapan aksiom (GR2) memberikan kita rantai kesamaan berikut e1 = e1e2 = e2. Begitu juga, jika untuk beberapa elemen a terdapat dua songsang b1, b2, maka, dengan menggunakan aksiom (GR1) – (GR3), kita memperoleh rantaian persamaan berikut b1 = b1e = b1(ab2) = (b1a)b2 = eb2 = b2.

Jika M – subset sesetengah kumpulan Gmaka kita boleh mempertimbangkan operasi pendaraban pada set M, iaitu pemetaan ·: M × MG. Operasi pada satu set M kami akan memanggil terinduksi operasi. Subset H kumpulan G dipanggil subkumpulanjika ia sendiri adalah kumpulan berkenaan dengan operasi yang diinduksi. Adalah mudah untuk mengesahkan bahawa subset adalah kumpulan kecil jika ia ditutup berkenaan dengan produk (iaitu untuk mana-mana dua h1, h2 H unsur itu h1 · h2 lagi terletak di H) dan ditutup berkenaan dengan mengambil sebaliknya (iaitu untuk mana-mana h H unsur itu h-1 lagi terletak di H). Secara ringkas ia ditulis sebagai HH H dan H-1 H. Kenyataan lanjut "H adalah kumpulan kecil kumpulan G"Kami akan menulis sebentar seperti berikut HG.

Biarkan G adalah kumpulan sewenang-wenangnya H – subkumpulannya dan g – unsur kumpulan sewenang-wenangnya G. Banyak Hg = {hg | h Hdipanggil kelas bersebelahan (kelas bersebelahan kanan) g. Kami memperkenalkan hubungan ini g1g2 (mod H) pada set elemen kumpulan G mengikut peraturan: g1g2 (mod H) dalam itu dan hanya jika Hg1 = Hg2. Penggunaan notasi yang sama dengan nisbah perbezaan untuk bilangan bulat (lihat di atas) tidak secara tidak sengaja, kerana hubungan pemisahan adalah kes persamaan khas kelas bersebelahan. Sesungguhnya, sebagai satu kumpulan G set itu diambil bulat dengan penambahan, dan sebagai subkumpulan H subset diambil k nombor yang boleh dibahagi oleh k. Jelas bahawa hubungan yang ditakrifkan oleh kami adalah kesetaraan, set kelas kesetaraan dilambangkan oleh G / Hkuasa |G / H| set kelas kesetaraan juga dilambangkan sebagai |G : H| dan dipanggil oleh indeks subkumpulan H dalam kumpulan G. Jelas, untuk apa-apa g G adil |Hg| = |Hdi mana kita segera menjadi penting Lagrange teorem: |G| = |G : H| · |H|, khususnya, urutan subkumpulan selalu membahagikan susunan kumpulan.

Pada set G / H Anda secara semulajadi boleh menentukan operasi pendaraban: Hg1 · Hg2 : = Hg1 · g2. Agar definisinya betul, iaitu, kesamaan set Hg1 · Hg2 = {h1g1 · h2g2 | h1, h2 H} dan Hg1 · g2 = {hg1 · g2 | h H}, adalah perlu dan mencukupi untuk apa-apa g G kesamarataan telah dipenuhi g-1Hg = {g-1hg = h | h H} = H (keadaan ini akan kami tuliskan HG H). Ungkapan g-1Hg dipanggil konjugasi menggunakan unsur tersebut g dan sering dilambangkan Hg. Ungkapan gHg-1 = Hg-1 kami akan merakam gH. Subkumpulan Hmemuaskan keadaan HG Hdipanggil normal subkumpulan kumpulan G (dilambangkan oleh H G), dan kumpulan yang dihasilkan G / H dipanggil kumpulan faktor kumpulan G dengan subkumpulan H. Konsep kumpulan subkumpulan dan faktor biasa adalah antara kumpulan yang paling penting dalam teori kerana mereka membenarkan sebahagiannya mengurangkan kajian kumpulan kepada kumpulan yang lebih kecil H dan G / H kumpulan itu G ditentukan secara terang-terangan). Kumpulan yang tidak mengandungi subkumpulan biasa dipanggil mudah.

Jelasnya, persilangan mana-mana subkumpulan adalah subkelompok lagi. Ini membolehkan kita untuk menentukan subkumpulan yang dihasilkan oleh M, sebagai kumpulan kecil terkecil yang mengandungi subset Myakni persimpangan semua subkumpulan kumpulan Gmengandungi banyak M. Subkumpulan yang dihasilkan oleh set Makan ditandakan M. Mudah untuk menyemaknya M adalah satu set semua jenis produk dari unsur M dan kembali kepada mereka. Kumpulan dihasilkan oleh satu elemen a dipanggil kitarandan perintahnya |a| : = |a| dipanggil dalam rangka elemen a. Ia mudah untuk memeriksa bahawa susunan elemen adalah nombor terkecil. nuntuk yang mana sama dengan e. Dari teorem Lagrange ia mengikuti bahawa urutan elemen sentiasa membahagikan susunan kumpulan.

Pada akhir bahagian ini, kami membentangkan konsep isomorphism kumpulan. Jika G, H – kumpulan, kemudian pemetaan φ : GHmemelihara operasi (iaitu untuk semua g1, g2 G dilakukan (g1 · g2)φ = g1φ · g2φ) dipanggil homomorfisme, tetapkan Ker (φ) = {g G | = edipanggil kernel homomorphism, dan banyak lagi = { | g Gdipanggil homomorfisme. Jika Ker (φ) = {e}, dan = Hiaitu jika φ adalah bijection, kemudian pemetaan φ dipanggil isomorfismedan kumpulan G dan H isomorphic (dilambangkan oleh G H). Teorem homomorfisme menyatakan bahawa H = Ker (φ) – kumpulan kecil kumpulan biasa G dan G / H. Isomorphisme boleh dianggap sebagai "kesamaan" dari dua kumpulan yang kita tidak membezakan antara mereka (walaupun dalam realiti mereka mungkin berbeza). Oleh itu, teori itu, secara tegas, mengkaji kelas-kelas isomorfisme kumpulan. Perhatikan bahawa dalam kehidupan seharian, kita juga sering menubuhkan isomorphisms dari abstraksi tahap yang lebih tinggi. Jadi, sebagai contoh, ada kelas isomorphism perabot, yang disebut konsep "almari pakaian", dan kami dengan beberapa tanda pasti secara pasti menentukan sama ada objek diberikan kepada "almari" atau tidak. Apabila kita kekurangan abstraksi yang tinggi, kita turun ke tahap yang lebih rendah dan mula membahagikan kabinet menjadi "dapur", "buku", "almari pakaian", dan lain-lain.Konsep isomorfisme untuk kumpulan adalah hanya alat yang kita berada di tahap abstraksi kita membezakan atau mengenal pasti objek.


Like this post? Please share to your friends:
Teori Kumpulan – Science of Excellence ">
Tinggalkan Balasan

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: