Teori kumpulan adalah sains kesempurnaan. Beberapa takrif awal dan notasi

Teori Kumpulan – Science of Excellence

Evgeny Vdovin

  • Pengenalan
  • Beberapa takrif awal dan notasi
  • Aksioma kumpulan
  • Contoh kumpulan
  • Kesimpulannya

Beberapa takrif awal dan notasi

Kami akan cuba menggunakan beberapa formula dan simbol matematik khas yang mungkin, tetapi kami tidak boleh melakukannya tanpa mereka sepenuhnya. Set, sebagai peraturan, akan dilambangkan oleh huruf Latin modal, dan elemen mereka – huruf kecil. Jika A – ramai, dan a – beberapa elemen, kemudian rekod a A harus membaca "elemen a milik banyak orang A"masing-masing, kemasukan a A bermaksud "elemen a tidak tergolong dalam set A“.

Ingat bahawa konsep set, elemen dan keanggotaan adalah konsep asas matematik moden yang tidak boleh dibayangkan. Mana-mana set ditentukan oleh unsur-unsur yang termasuk dalamnya (yang, pada gilirannya, juga boleh ditetapkan). Jadi kita mengatakan bahawa set itu ditentukan atau ditetapkanjika bagi mana-mana unsur kita boleh katakan sama ada ia dimiliki oleh set ini atau tidak. Untuk dua set A, B rekod B A, B A, BA, B A, B \ A, A × B bermakna dengan sewajarnya B adalah subset set A (iaitu apa-apa perkara dari B juga terkandung dalam Acontohnya, set nombor semulajadi terkandung dalam set nombor nyata; selain sentiasa A A), B adalah subset set yang betul A (iaitu. B A dan BA), persimpangan set B dan A (iaitu, semua elemen sedemikian yang secara serentak terletak pada Adan dalam B, contohnya, persimpangan bilangan bulat dan nombor nyata positif adalah set nombor semula jadi), kesatuan set B dan A (iaitu, satu set yang terdiri daripada unsur-unsur yang terletak di dalamnya Asama ada dalam B), menetapkan perbezaan B dan A (iaitu set elemen yang terletak di dalam Btetapi jangan berbohong A), Set produk Cartesian A dan B (iaitu, satu set pasangan bentuk (a, b) di mana a A, b B). Melalui |A| sentiasa ditandakan kuasa set Aiaitu bilangan unsur dalam set A. Takrif sentiasa diserlahkan. dalam huruf miring.

Kita tidak boleh melakukan tanpa konsep pemetaan, hubungan dan kesetaraan. Kami tidak akan memberikan definisi logik yang ketat mengenai konsep-konsep ini, kami hanya akan menerangkannya. Pemetaan boleh dianggap sebagai fungsi mengaitkan satu elemen (dipanggil prototaip itu) beberapa elemen lain (dipanggil cara). Dalam kehidupan, kami sentiasa berhadapan dengan konsep paparan, sebagai contoh, membeli tiket teater, dengan itu kami mewujudkan paparan antara tiket dan beberapa tempat di dewan teater. Apabila kami menerima gaji, kami menubuhkan pemetaan antara kerja yang dilakukan pada bulan itu dan wang yang akan dibayar untuknya. Dengan mengkaji senarai pemain pasukan bola sepak, kami mewujudkan pemetaan antara pemain dan pasukan yang mereka mainkan. Oleh itu, terdapat banyak pemetaan, hampir semua dalam hidup kita adalah dalam satu cara atau pemetaan lain. Terdapat pelbagai jenis pemetaan khas, maka 3 jenis berikut akan digunakan dalam teks: pemetaan inisiatif (suntikan), pemetaan suruhan (suratan) dan pemetaan bijak (bijection). Pemetaan injektif adalah pemetaan yang memaparkan imej yang berbeza kepada elemen sumber yang berlainan. Pemetaan suruhan adalah pemetaan di mana setiap imej mempunyai prototaip. Akhirnya, pemetaan bijektif adalah pemetaan yang kedua-dua injektif dan objektif.

Marilah kita menerangkan konsep-konsep ini dengan contoh pemetaan antara banyak tiket dan banyak kerusi dalam teater.Bayangkan sebuah pawagam di bandar N, di mana Shield dan Pedang pergi seribu kali. Sememangnya, hanya ada yang ingin melihatnya, dan hanya ada satu pasangan yang mengambil dua tiket dalam "Kiss Line". Setelah sampai ke pawagam, pasangan itu, dengan kegembiraan mereka, menyedari bahawa mereka bersendirian di sini, tetapi sebagai orang yang berpendidikan, mereka mengambil tempat yang ditunjukkan dalam tiket. Dalam hal ini, tentu saja, pemetaan tidak semestinya, kerana tiket yang berbeza sesuai dengan tempat yang berlainan. Tetapi ia tidak suram, kerana kita masih mempunyai banyak tempat kosong yang tidak dijual satu tiket. Oleh itu, pemetaan bukan suruhan jelas tidak menguntungkan untuk pentadbiran pawagam.

Bayangkan sekarang bahawa pada keesokan harinya, di panggung wayang yang sama di bandar yang sama, mereka berjanji untuk melancarkan blockbuster baru dari Tarantino dan membayangkan Tarantino sendiri akan menjawab soalan daripada penonton selepas filem itu. Secara semulajadi, pejabat tiket penuh dengan orang, dan pengurusan, "secara tidak sengaja", menjual dua set tiket ke tempat yang sama. Kami tidak akan menerangkan disassembly ini kerana satu tempat yang berlaku dalam sesi ini, kami hanya perhatikan bahawa paparan kini menjadi suratan, kerana tiket telah dijual untuk setiap tempat, tetapi tidak insiatif, kerana terdapat dua tiket untuk setiap tempat.Oleh itu, pemetaan tidak bersifat adalah bertentangan langsung dengan hak pengguna dan, mungkin, terdapat di bawah beberapa artikel undang-undang "Pada Perlindungan Hak Pengguna".

Nah, kes terakhir, lihat panggung wayang yang sama di bandar N pada malam 1 Januari 2006. Filem pertama yang diumumkan tahun ini sekali lagi menyebabkan agiotaj awam, tetapi kini pihak pengurusan, yang diajar oleh pengalaman pahit terdahulu, berhati-hati memastikan bahawa satu set tiket dijual untuk setiap sesi. Akibatnya, setiap penonton dengan tenang mengambil tempatnya, dan setiap sesi bermula dengan sebuah rumah penuh. Oleh itu, contoh terakhir ini adalah kedua-dua inisiatif dan refleksi suram, iaitu bijection. Akibatnya, bijection adalah makna emas yang boleh memberi manfaat kepada pengarah dan pada masa yang sama sebagai mudah mungkin kepada penonton. Konsep bijection ini baru saja menjadi formalisasi matematik konsep konsep simetri intuitif, yang dibincangkan dalam pengenalan. Oleh itu, tidak menghairankan bahawa ia adalah bijeks yang merupakan pemetaan yang paling sempurna dalam kes ini.

Pemetaan dari set A dalam set B memanggil beberapa peraturan, menggunakan mana, setiap unsur A anda boleh memadankan satu item dari B. Mappings biasanya kita akan menunjukkan dalam huruf Yunani dan menulis φ : ABdan imej mana-mana elemen a A relatif kepada paparan φ dicatatkan . Rekod sedemikian seolah-olah pada mulanya luar biasa dan menyusahkan mereka yang digunakan untuk menulis fungsi (kes pemetaan khas) sebagai φ(a), tetapi untuk persembahan kami, ia akan menjadi lebih mudah. Sekiranya terdapat 3 set A, B, C dan diberikan pemetaan φ : AB dan ψ : BCmaka anda boleh membina pemetaan φψ : AC sebagai komposisi pemetaan pelaksanaan (sequential sequence) φ dan ψ. Perhatikan bahawa jika kami mencatatkan paparan di sebelah kiri, komposisi φψ kita perlu membaca kanan ke kiri, dalam bahasa Arab. Pada masa akan datang, kami memerlukan jenis peta berikut: suntikan (paparan φ : AB dipanggil injektif jika ada yang berbeza x, y A barangan , juga berbeza) suratan (paparan φ : AB dipanggil suratan jika untuk apa-apa y B ada yang sedemikian x Aitu = y), bijection (suntikan dan suntingan pada masa yang sama). Contoh-contoh pemetaan dari nombor rasional kepada rasional boleh pemetaan: xx3, xx2, xx/ 2. Yang pertama adalah tidak semestinya, tetapi tidak menjamin, yang kedua bukanlah kata sifat atau kata sifat, yang ketiga adalah bijection.

Satu lagi konsep penting matematik ialah konsep hubungan. Sikap boleh dianggap sebagai peraturan tertentu, yang bagi mana-mana dua unsur (objek, benda, makhluk hidup, dll) memungkinkan untuk menentukan sama ada mereka dalam hal ini atau tidak. Dalam kehidupan kita, kita sentiasa masuk dan akan, dalam hubungan yang berbeza. Sebagai contoh, berhubung dengan persaudaraan (dengan tahap keintiman yang berbeza-beza), sikap pekerja majikan, hubungan pemandu-penumpang, penjual-pembeli, dll. menjaga sifat mereka.

Kami mengatakan bahawa pada beberapa set A ditetapkan R nisbahjika bagi mana-mana dua elemen a, b daripada A kita boleh tahu sama ada mereka berhubung R atau tidak. Dengan kata lain, sikap itu R terdapat pemetaan R : A × A → {1, 0}, di mana nilai 1 sepadan dengan "benar", dan nilai 0 – "palsu" (perhatikan bahawa susunan di mana unsur-unsur diambil adalah penting a dan b).Biasanya, untuk menandakan hubungan, kita akan menggunakan watak-watak khas ≡, ~, dan lain-lain. Hubungannya dengan mudah ditulis sebagai a ~ bjika a dan b adalah berhubung R dan a bjika a dan b tidak berhubung R. Hubungan ~ pada set A dipanggil dengan kesetaraanjika aksioma berikut dipenuhi:

(ECB1)
untuk mana-mana sahaja a A dilakukan a ~ a (aksiom refleksivity);

(ECB2)
untuk mana-mana sahaja a, b daripada A daripada a ~ b berikut b ~ a (aksiom simetri);

(ECB3)
untuk mana-mana sahaja a, b, c daripada A daripada a ~ b dan b ~ c berikut a ~ c (aksiom transitiviti).

Contoh perhubungan ialah nisbah susunan ≥ pada set nombor nyata, nisbah keterasingan pada set integer, hubungan kesamaan pada set nombor nyata, nisbah persamaan residu dari pembahagian dengan nombor semula jadi tetap pada set nombor semula jadi. Perhatikan bahawa dua hubungan pertama tidak setara, dan dua yang terakhir adalah. Terdapat nama khas untuk hubungan terakhir: bilangan bulat m, n dipanggil modul kitar sebanding (ditulis sebagai mn (mod k)) jika nm dibahagikan dengan k.

Sekiranya di set A diberi hubungan kesamaan ~, maka keseluruhan set berpecah kelas kesetaraan – subset unsur bersamaan pasangan, dan mana-mana dua kelas sama ada tidak bersilang atau bertepatan. Sesungguhnya, katakanlah C1, C2 – dua kelas kesetaraan dan persimpangan mereka C1C2 tidak kosong dan mengandungi beberapa elemen x. Kemudian untuk sebarang elemen y C1, dengan definisi kelas kesetaraan, berpuas hati x ~ y. Di samping itu, untuk apa-apa z C2, sekali lagi dengan definisi kelas kesetaraan, berpuas hati z ~ x. Oleh sebab aksiom transitiviti (keadaan (EKV3)), kita memperolehnya y ~ zbermakna C1 = C2. Set kelas set A dengan kesetaraan ~ dilambangkan oleh A / ~.


Like this post? Please share to your friends:
Teori Kumpulan – Science of Excellence ">
Tinggalkan Balasan

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: