Teori kumpulan adalah sains kesempurnaan. Contoh kumpulan

Teori Kumpulan – Sains Kecemerlangan

Evgeny Vdovin

  • Pengenalan
  • Beberapa takrif awal dan notasi
  • Aksioma kumpulan
  • Contoh kumpulan
  • Kesimpulannya

Contoh kumpulan

Contoh-contoh kumpulan yang diketahui oleh kami dari sekolah rendah adalah nombor bilangan bulat, rasional, nyata dan kompleks dengan penambahan, angka rasional, tidak nyata, nyata, kompleks dengan pendaraban. Semua kumpulan ini adalah abelian. Satu lagi contoh penting kumpulan adalah pembinaan berikut. Biarkan X – Set dan simbol sewenang-wenangnyaX – satu set semua jenis bijection set X pada diri saya sendiri. Tetapkan pendaraban oleh SymX sebagai komposisi. Kemudian simbolX mengenai operasi komposisi adalah kumpulan dan dipanggil kumpulan simetri pada set X atau kumpulan gantian (kadang-kadang istilah kumpulan permutasi juga digunakan, tetapi nampaknya tidak berjaya kepada kami, lebih banyak perkara di bawah ini). Jika ramai X sudah tentu dan | |X| = nmaka kita boleh mengandaikannya X = {1, … , n} dan symX ditandakan dengan symn. Jika Ψ adalah harta pemetaan yang dipelihara di bawah komposisi, maka subset pemetaan yang memuaskan harta Ψ dari kumpulan SymX membentuk subkumpulan kumpulan simbolX. Kami menunjukkan bahawa komposisi pemetaan memuaskan aksiom associativity (ГР1) (memeriksa aksioma lain lebih mudah, mereka mengikuti dari definisi bijection).Untuk membuktikan bahawa komposisi peta bersekutu, perlu terlebih dahulu difahami apabila peta adalah sama. Walaupun definisi yang jelas, ia sering menyebabkan kesulitan. Mappings φ : AB dan ψ : AB (di mana A, B – set sewenang-wenangnya) adalah sama jika untuk apa-apa x A imejnya dan sama. Sekarang mari φ, ψ, χ SymX dan x X. Kemudian x((φψ)χ) = (x(φψ))χ = (()ψ)χSebaliknya x(φ(ψχ)) = ()(ψχ) = (()ψ)χyang membuktikan kesesuaian komposisi.

Contoh ini bukan sahaja membolehkan anda membina sebilangan besar kumpulan yang berbeza (kita akan melihat semua kumpulan di bawah), tetapi juga menunjukkan pelbagai aplikasi teori kumpulan. Di mana pun ada sekurang-kurangnya beberapa simetri (iaitu, bijection), kumpulan akan timbul dengan segera. Masalah pembinaan dengan bantuan kompas dan penguasa, kesolvenan persamaan algebra dalam radikal, persamaan pembezaan dalam primitif, dan lain-lain, secara semula jadi dikurangkan kepada masalah dalam teori kumpulan. Pelbagai masalah gabungan dikurangkan untuk menghitung objek yang memuaskan sifat-sifat tertentu dan sekali lagi kepada teori kumpulan.

Jika G – kumpulan X – menetapkan dan diberikan homomorfosis φ : G → SymXmaka katakan kumpulan itu G bertindak pada set X. Jika Ker (φ) = {e}, tindakan itu dipanggil tepat. Untuk "memudahkan" notasi, kami akan mengenal pasti g dengan imejnya dan untuk sewenang-wenangnya x X imejnya adalah relatif akan merakam xg. Kami memperkenalkan hubungan kesamaan ~ pada X mengikut peraturan: elemen x, y X bersamaan jika ada demikian g Gitu xg = y. Kelas kesetaraan dipanggil orbit kumpulan G. Dikatakan bahawa kumpulan itu G bertindak secara transit (dan pembentangan adalah transitif) jika terdapat hanya satu orbit. Homomorfisme φ : G → SymX dipanggil perwakilan liar kumpulan G (tepat kerana istilah "perwakilan permutasi", istilah "kumpulan permutasi" dianggap tidak berjaya, kerana istilah "perwakilan permutasi" mempunyai makna yang berbeza). Jika Ker (φ) = {e}, persembahan dipanggil tepat.

Pertimbangkan sekarang kumpulan sewenang-wenangnya. G dan subkumpulannya H. Kumpulan G bertindak pada set kelas bersebelahan dalam subkumpulan H dengan mendarabkan di sebelah kanan: (Hg1)g2 = H(g1g2). Oleh itu, terdapat perwakilan transitif φ : G → SymG / H. Jika H tidak mengandungi sebarang subkumpulan biasa kumpulan Gmaka pembentangan ini adalah tepat. Khususnya, jika H = {epersembahan itu G → SymG/ % = SymG sentiasa tepat dan dipanggil biasa persembahan kumpulan G. Oleh itu, mana-mana kumpulan boleh dipertimbangkan sebagai sekumpulan penggantian. Ia ternyata bahawa mana-mana perwakilan transitif kumpulan G boleh mendapatkan cara ini.


untuk memahami teks berikut, anda perlu mengetahui kursus universiti algebra

Contoh kumpulan berikut timbul dari ruang vektor. Biarkan V – ruang vektor di atas bidang F (Saya tidak akan memberikan takrif ruang vektor dan medan, contoh ruang vektor adalah satah, dan contoh medan adalah satu set nombor rasional berkenaan dengan tambahan dan pendaraban). Set transformasi linear yang tidak merosotkan ruang vektor V membentuk satu kumpulan dan dipanggil kumpulan linear umum (dilambangkan oleh GL (V)). Ia mudah untuk memeriksa ruang vektor dimensi yang sama n di atas bidang yang sama adalah isomorfik ke ruang rentetan panjang n, dan set transformasi linear yang tidak degenerate bertepatan dengan set matriks yang tidak merosot. Dalam kes ini, kumpulan linear umum ditulis sebagai GLn(F).Malah, contoh ini tidak, tegas, baru, sejak GL (V) ≤ SymV. Walau bagaimanapun, kepentingan kumpulan kelas ini kerana pemilihannya dalam contoh yang berasingan. Homomorfisme φ : G → GLn(F) dipanggil perwakilan linier kumpulan G di atas padang F darjah ndan ruang V dipanggil G-modul. Kumpulan simetri bola, yang disebut dalam pengantar, bertepatan dengan kumpulan semua transformasi linier ruang tiga dimensi yang mengekalkan panjang vektor, yang dipanggil kumpulan ortogonal yang biasa.


Contoh ketiga kumpulan muncul sebagai berikut. Biarkan X = {x1, x2, …} adalah beberapa abjad (terhingga atau tak terbatas). Mari kita isi dengan simbol rasmi. X-1 = {x1-1, x2-1, …} dan pertimbangkan set perkataan dalam abjad X X-1. Kami memperkenalkan transformasi:

(1)
penghapusan aksara xixi-1 atau xi-1xi;

(2)
tambah ke mana-mana tempat perkataan subwords xixi-1 atau xi-1xi.

Dua perkataan u, v kita memanggil bersamaan jika ada rantai transformasi jenis (1) atau (2) yang menterjemahkan satu perkataan kepada yang lain. Pada set kelas kesetaraan, kita menentukan operasi pendaraban dengan memberikan satu perkataan ke akhir yang lain. Kemudian kami mendapat kumpulan yang dipanggil kumpulan percuma dan dilambangkan oleh F[X], dan elemen-elemen kumpulan ini dipanggil dalam kata-kata. Kesejagatan pembinaan ini menjadikan kumpulan bebas sangat diperlukan untuk mengkaji bahasa formal (misalnya, bahasa pengaturcaraan), serta pelbagai tugas lain dari teori pengekodan, pengiktirafan, dan sebagainya. Istilah "bebas" adalah disebabkan oleh fakta bahawa jika kita mempunyai kumpulan sewenang-wenang G dan ada sebilangan besarnya Mitu M = Gmaka kita boleh mempertimbangkan banyak kata X dengan keadaan |X| = |M| dan kemudian ada homomorfisme φ : F[X] → G. Kernel homomorphism Ker (φ) yang dihasilkan oleh beberapa set perkataan R dan rakaman kumpulan G dalam bentuk G = < X|R > dipanggil tugas kumpulan yang menentukan dan menjana hubungan. Mungkin ini adalah cara paling abstrak untuk menetapkan kumpulan dan oleh itu yang paling sukar. Kami tidak akan memberikan contoh-contoh kumpulan yang ditakrifkan dengan cara ini.


Like this post? Please share to your friends:
Teori Kumpulan – Sains Kecemerlangan ">
Tinggalkan Balasan

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: