Penggambaran masa lapang • Nikolay Zinov • Tugas sains popular mengenai "Unsur" • Matematik, Fizik

Tembakan bingkai

Tugas

Bola bergerak dalam satah vertikal di bawah tindakan graviti dan melantun dari permukaan mendatar sama sekali secara elastik. Segala-galanya berlaku dalam kegelapan mutlak, tetapi kadang-kadang strob berkelip menerangi bola. Pada saat-saat ini, kedudukan bola ditetapkan pada kamera.

1) Apakah bilangan minimum bingkai? Anda pasti dapat memulihkan trajektori bola, jika anda tidak tahu mana dari mereka yang dibuat ke titik pemulihan, dan yang mana-mana?
2) Anggapkan bahawa kita tahu di mana setiap bingkai diambil. Berapa ramai bingkai yang diperlukan untuk mengembalikan trajektori bola dalam kes ini?
3) Soalan sama jika bola boleh melantun beberapa kali.
4) Apa yang akan, jika kita mengambil kira kekuatan rintangan udara, yang bertentangan dengan kelajuan bola dan berkadaran dengan kuadrat laju (pekali kekompadanan diketahui)?


Petua 1

Pada contoh titik ketiga, anda dapat melihat bahawa terdapat set kerangka yang besar, yang, bagaimanapun, tidak dapat memulihkan trajektori bola. Sebagai contoh, jika bola muncul pada bingkai ini pada jarak yang sama dengan jarak titik-titik melintang pada ketinggian yang sama, maka anda boleh memulakan laluan melalui mereka dengan tempoh yang membahagikan jarak antara mata bersebelahan. Walau bagaimanapun, konfigurasi degenerasi seperti ini jarang berlaku, dan adalah wajar untuk tidak mengambil kira mereka.Berfikir apa arti mereka "jarang" – kami akan membincangkan persoalan ini dalam penyelesaiannya.


Petua 2

Sekiranya anda tidak mengambil kira kes-kes yang merosot, bilangan bingkai minimum yang mencukupi dalam perenggan pertama adalah 4. Cobalah untuk membina item ini set 4 merosot dengan jawapan yang samar-samar.


Penyelesaian

1) Dalam ketiadaan rintangan udara, bola di antara bounces dari permukaan akan bergerak di sepanjang parabola (cabang-cabang yang melihat ke bawah). Oleh kerana pemulihan adalah anjal, keseluruhan lintasannya adalah satu set parabola serupa (diperolehi dengan memindahkan satu dari yang lain), yang bersilang di titik-titik rebound dari permukaan (Rajah 1). Pada asasnya, tugas itu dikurangkan kepada yang berikut: untuk menentukan dengan bilangan mata yang dikenali trajektori jenis ini secara unik dipulihkan. Selang antara titik pantulan yang berdekatan dari permukaan akan dipanggil tempoh trajektori.

Rajah. 1.

Dari teorem utama algebra ia mengikuti bahawa melalui mana-mana n + 1 mata "pas" satu-satunya polinomial darjah n (dua pembinaan utama seperti polinomial – Newton dan Lagrange). Oleh kerana parabola ditakrifkan oleh polinomial darjah kedua, jika tiga mata diketahui pada salah satu parabolas (trajektori antara rebound), trajektori itu dipulihkan secara unik.Ia boleh ditunjukkan bahawa sebarang trajektori parabola mungkin secara fizikal, kerana cawangannya diarahkan ke bawah dan puncaknya berada di atas paksi mendatar (iaitu, di atas permukaan yang mana bola melantun).

Katakan ada tiga bingkai. Iaitu, tiga mata diketahui – A, In dan Dengan (dari kiri ke kanan) – pada trajektori bola (kami percaya bahawa mereka tidak berbaring di satu garis lurus – kes ini mudah untuk membongkar secara berasingan). Masalahnya adalah bahawa, dalam kes umum, tempat pemulihan tidak diketahui, oleh itu adalah mustahil untuk segera mengatakan sama ada titik ini jatuh dalam satu tempoh. Kita boleh mengandaikan bahawa ini adalah begitu, dan mendapat variasi trajektori – parabola yang melalui ketiga-tiga titik ini.

Dan kita boleh mengandaikan bahawa di antara titik-titik itu adalah pemulihan. Kemudian dua daripadanya – biarkannya A dan In – jatuh pada satu tempoh, dan yang ketiga – seterusnya. Kami tidak tahu di mana pemulihan itu, kami hanya tahu bahawa di antara satu sama lain In dan Dengan. Tetapi itu cukup untuk kita. Sebabnya adalah seperti berikut. Pilih satu titik X pada paksi mendatar antara In dan Dengan dan kami akan mengandaikan bahawa ia adalah titik pemulihan. Kemudian titik demi titik A, In dan X trajektori hypothetical dipulihkan. Jika titik itu Dengan memukulnya, maka kita mendapat trajektori kedua untuk tiga mata ini. Tetapi bagaimana jika titik itu Dengan Adakah ia jatuh ke dalamnya? Tiada masalah besar: kita boleh bergerak satu titik X. Perhatikan bahawa jika X bergerak ke satu titik In, parabola itu boleh dibuat sewenang-wenangnya "sejuk". Jika anda bergerak satu titik X di sebelah kanan In kepada Dengan, parabola akan mula "mendapat lemak", dan tempoh seterusnya juga akan beralih ke kanan (Rajah 2). Oleh itu, adalah mungkin untuk menggantikan beberapa kawasan di atas kapal terbang (yang lengkungnya adalah terhad?), Dan jika satu titik Dengan masuk ke dalam kawasan ini, kita sekali lagi mendapat versi kedua trajektori bola (kerana ia jelas akan berbeza dari jalan di mana ketiga-tiga mata jatuh untuk satu tempoh).

Rajah. 2

Malah, jika titik itu Dengan terletak "cukup rendah", maka walaupun dua trajektori dapat diperoleh dengan cara ini: dalam satu kes, titik ini jatuh pada cabang parabola menaik, dan di sisi lain – pada cawangan menurun (Gambar 3).

Rajah. 3

Adalah penting bahawa dalam kawasan yang dinyatakan (yang ditentukan oleh kedudukan mata) A dan In) titik ketiga boleh dipilih sewenang-wenangnya – dan akan sentiasa menjadi trajektori tambahan. Penautan di atas tidak cukup formal, tetapi, jika diinginkan, dapat dikurangkan untuk menyelesaikan sistem persamaan.

Oleh itu, secara umum, tiga mata jelas tidak mencukupi.

Katakan sekarang bahawa empat titik trajektori diketahui.Walaupun terdapat juga konfigurasi dengan jawapan yang samar-samar (Rajah 4), perbezaan kualitatif di antara kes ini dan yang terdahulu ialah di sini, secara tidak rasmi, seseorang tidak boleh memindahkan salah satu mata sewenang-wenangnya supaya kekaburan itu kekal. Ini boleh dibenarkan sama dengan alasan sebelumnya: jika tiga atau empat poin melanda satu tempoh, maka trajektori itu jelas tidak jelas, dan jika dua mata melanda dua tempoh, kemudian bergerak titik pemulihan, anda perlu menyesuaikan parabola bukan di bawah satu, tetapi dua mata, yang memberikan sekatan pada kedudukan bersama mata.

Rajah. 4

Dari sudut pandang intuitif-probabilistik, ini bermakna bahawa dengan pemilihan titik pemilihan rawak, keadaan ini tidak mungkin berlaku. Sebaliknya, untuk tiga mata sudah cukup untuk titik ketiga jatuh ke dalam kawasan yang cukup besar yang ditakrifkan oleh dua yang pertama, peristiwa yang agak mungkin. Secara rasmi, set titik kekaburan penyelesaian mempunyai isipadu nonzero dalam ruang konfigurasi.

Rajah 4, sudah tentu, menunjukkan bahawa untuk menjawab soalan yang diajukan dalam perenggan pertama, penalaran di atas tidak begitu penting. Tetapi mereka membenarkan kita memahami apa yang berlaku dalam keadaan yang dipertimbangkan, dan mereka hampir sama dengan alasan yang diperlukan dalam perenggan 3.

Dalam kes lima mata, jawapannya selalu tegas tanpa sebarang tempahan – ini berikut dari hakikat bahawa dua trajektori yang berbeza (dengan tidak lebih dari satu bouncing masing-masing) boleh tidak mempunyai lebih daripada empat titik persilangan, yang disahkan secara geometrik atau dengan membuat persamaan.

2) Sekarang pertimbangkan kes ketika momen laluan setiap titik diketahui. Ini sangat memudahkan analisis. Sekiranya dua titik diketahui pada selang yang sama, maka parabola itu dipulihkan secara tegas: anda boleh membuat sistem persamaan dua linear bagi komponen vektor halaju awal. Sudah tentu perhatikan bahawa, dengan syarat terdapat pemulihan, jelas ada dua mata yang jelas, dan jika terdapat tiga titik trajektori, maka sekurang-kurangnya dua daripadanya jatuh pada satu selang (tetapi, walaupun kadang-kadang dua penyelesaian yang berbeda mungkin, seluruh wilayah kekaburan akan kerana kedua-dua bahagian trajektori itu dihubungkan dengan keadaan kebetulan halaju menegak).

3) Seperti yang dinyatakan dalam petunjuk pertama, jika kita mengambil kira kes-kes yang merosot, maka tiada bilangan mata yang cukup untuk jawapan yang tidak jelas (Rajah 5). Oleh itu, kita akan menangani keadaan apabila titik berada dalam kedudukan yang agak umum.

Rajah. 5

Untuk memulakan, kami akan mempertimbangkan satu pilihan apabila kita mengetahui perkara-perkara yang tepat pada masanya di mana pengukuran dibuat. Pertimbangkan dua mata paling kiri. Sekiranya kita membetulkan bilangan lonjakan di antara mereka, maka trajektori itu dipulihkan secara unik (dari pertimbangan fizikal). Oleh itu, melalui bilangan bounces, anda boleh mencari trajektori di mana mata yang tinggal akan jatuh. Dari discreteness parameter ini, maka satu titik lagi kedudukan am cukup (untuk lintasan ada persilangan dengan bilangan bounces yang berlainan, tetapi mereka terisolasi dan tidak ada kawasan keragaman). Iaitu, dalam penjelmaan ini, tiga mata cukup.

Marilah kita menunjukkan cara untuk mengurangkan versi dengan tanda waktu yang tidak diketahui kepada yang baru saja dipertimbangkan. Untuk melakukan ini, ia cukup untuk memasukkan parameter yang berterusan – komponen halaju mendatar (ia adalah, selepas semua, malar, kerana rebound adalah elastik). Kemudian masa pengukuran dipulihkan ke dalam titik rujukan. Semakin besar kelajuan, semakin "rata" trajektori akan, ceteris paribus. Dengan menambahkan satu lagi titik di lokasi sewenang-wenangnya, kita dapat memulihkan nilai yang sesuai dengan parameter ini.

4) Item ini telah ditambahkan pada masalah secara spontan, dan, seperti yang ternyata, pertimbangan awal pengarang mengenai keputusan itu tidak disahkan.Jadi pada masa ini persoalan masih terbuka – berkongsi idea dalam komen!


Selepas perkataan

Dalam masalah ini, kami menganggap pemulihan trajektori berterusan pada titik individu. Tugas tersebut dipanggil masalah interpolasi, dan ia dikendalikan oleh seksyen matematik komputer yang berasingan. Keputusan itu diutarakan bahawa adalah perlu untuk mengukur kedudukan bola pada saat-saat rawak, maka kita akan berada dalam bahaya berlari ke dalam kekaburan. Mari kita lihat apa keperluan semulajadi yang patut dipaksakan, jika anda tiba-tiba mahu menubuhkan trajektori seberapa tepat yang mungkin.

Jelas sekali pengukuran dibuat dengan beberapa jenis kesilapan. Dalam model kami dengan bola, ini bermakna posisi bola di dalam foto mungkin sedikit berbeza dari yang sebenarnya (disebabkan oleh goncangan kamera, misalnya). Apa yang berlaku kepada trajektori yang dipulihkan, jika anda memindahkan mata sedikit? Ia dapat diperhatikan bahawa jika titik yang diukur hampir sama antara satu sama lain, maka pergerakan lemah salah satu daripada mereka secara signifikan mengubah trajektori, dan dalam hal mata yang jauh berbeza antara satu sama lain, ini tidak berlaku. Ini bermakna anda perlu menyebarkan pengukuran dalam masa untuk mengurangkan ralat yang mungkin. Dari sudut pandang matematik, bercakap mengenai bagaimana tugas itu perlu.Tugas yang baik telah ditetapkan supaya perubahan kecil dalam data input hanya memerlukan sedikit perubahan dalam jawapannya. Dalam praktiknya, ini bermakna bahawa ralat pengukuran kecil tidak banyak merosakkan hasilnya. Untuk menilai sejauh mana hasilnya rosak, nombor syarat diperkenalkan, yang, secara kasarnya, menetapkan had atas perubahan tindak balas pada peningkatan data input yang tetap.

Perlu diingat bahawa sebagai tambahan kepada ralat pengukuran, terdapat sumber-sumber kesilapan yang lain. Sebagai contoh, nombor-nombor pada komputer disimpan dengan ketepatan terhingga, dan oleh itu pengiraan tidak dapat dielakkan mengumpul ralat disebabkan pembundaran. Dalam kes ini, pengiraan, yang bersamaan di atas kertas, boleh memberikan kesilapan yang berlainan bergantung pada susunan tindakan.

Sejarah tahu banyak contoh bagaimana kesilapan itu membawa kepada akibat buruk. Sebagai contoh, dalam sistem kawalan sistem peluru berpandu anti-pesawat Patriot, adalah perlu untuk membahagikan masa berlalu sejak komputer di atas kapal telah dihidupkan oleh 10. Masalahnya adalah bahawa 0.1 adalah pecahan yang baik dalam sistem perpuluhan, tetapi dalam perduaan ia adalah tak terhingga (dan kelihatan seperti seperti ini: 0.000110011001100 … kerana 1/10 = 1/24 + 1/25 + 1/28 + 1/29 + 1/212 + 1/213 + …). Oleh itu, 0.1 pemalar tetap tidak tepat.Kesilapannya kecil, tetapi sekali apabila didarabkan dengan jumlah yang besar, apabila roket dilancarkan dalam masa yang lama (beberapa hari) selepas pelancaran sistem kawalan, kesilapan menyebabkan slip beberapa ratus meter. Oleh itu keperluan untuk menilai keadaan tidak hanya tugas, tetapi juga kaedah berangka yang digunakan. Selalunya, dalam praktiknya, adalah perlu untuk memohon kaedah-kaedah yang terlalu rumit dari sudut teori sahaja kerana mereka mempunyai keadaan yang baik.

Penulis berkat Evgeny Yepifanov dan Nikita Volkov untuk mendapatkan bantuan dan komen berharga.


Like this post? Please share to your friends:
Tinggalkan Balasan

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: