Pokok Krismas dan Lentera • Konstantin Knop, Evgeny Epifanov • Tugas sains popular mengenai "Unsur" • Matematik

Pokok-pokok Krismas dan lentera

Tugas

Pada dataran besar yang besar pada Malam Tahun Baru, ramai, banyak pokok Krismas dan banyak, banyak lentera dipasang, dan terdapat lebih banyak pokok Krismas daripada lampu-lampu. Bolehkah itu ternyata bahawa pada jarak 1 meter dari setiap pokok adalah tepat 8 lampu? (Krismas dan lampu tanglung dianggap titik, dan kawasannya adalah rata.)


Petua 1

Ya, boleh jadi.


Petua 2

Cobalah terlebih dahulu untuk mendapatkan penyelesaian untuk kes yang lebih mudah: apabila pada jarak 1 m dari setiap pokok terdapat 2 lampu dan sebuah pohon lebih daripada lampu-lampu.


Penyelesaian

Kami pertama membincangkan kes mudah dari hujung 2. Letakkan lampu dalam kisi persegi dengan sisi 2 m, dan pokok Krismas di tengah-tengah semua segmen antara dua lampu bersebelahan. Sekiranya pada satu pihak N Lentera kemudian jumlah tanglung akan N2. Yolok dengan 2N(N – 1), kerana separuh daripada mereka berada pada segmen menegak, dan setengah – pada mendatar. Sudah di N = 3 pokok akan lebih daripada lampu. Rajah 1 menunjukkan keadaan ketika N = 5: di kawasan 25 tanglung dan 40 pokok Krismas.

Rajah. 1.

Dalam menyelesaikan tugas utama, kami akan menyimpan lokasi lampu, dan hampir semua pokok Krismas (yang tidak memenuhi syarat, hanya mengeluarkannya dari dataran). Dan apa yang boleh diubah? Secara paradoks, lebih baik mengubah unit pengukuran, iaitu meter. Tidak lama lagi akan jelas mengapa.

Katakan ada kawasan besar di mana pokok-pokok dan tanglung berdiri dengan cara yang sama seperti contoh yang dibongkar di atas. Pertama, mari jawab soalan ini: adakah terdapat bulatan dengan pusat di dalam pokok Krismas yang diberikan, di mana terdapat 8 lampu lintang? Kita boleh mengandaikan bahawa pokok ini berada di asal koordinat, dan paksi koordinat dijalankan sejajar dengan segmen yang menyambungkan lampu-lampu yang terdekat (biarkan paksi abscissa pergi bersama segmen di mana pokok kita berdiri). Kemudian lampu akan mempunyai koordinat bentuk (2k + 1, 2l) di mana k dan l – integer (unit skala – meter, yang belum kita ubah). Menurut teorem Pythagorean, kuadrat jarak dari lampu dengan koordinat (2k + 1, 2l) kepada pokok adalah (2k + 1)2 + (2l)2. Jumlah wang tersebut boleh sama dengan satu sama lain untuk pasangan bulat berlainan (k, l). Sebagai contoh, 12 + 82 = 72 + 42 = 65. Ini bermakna lampu pada titik (7, 4) dan (1, 8) berada pada jarak yang sama dari pokok itu. Tetapi pada jarak yang sama daripadanya terdapat juga lampu, yang terletak pada titik (-7, 4), (7, -4), (-7, -4), (-1, 8), (1, -8) , (-1, -8), dan semua lampu sedemikian akan tepat 8 (dalam Rajah 2 ia ditunjukkan dengan warna biru, untuk kejelasan, bulatan ditarik melalui mereka). Secara umumnya, kami tidak membuktikan tidak akan ada lebih daripada lapan daripada mereka, tetapi senaman mudah ini akan dibiarkan kepada pembaca untuk keputusan bebas.

Rajah. 2

Sekarang kita bersedia untuk "perubahan meter" yang dijanjikan. Sekarang mari meter baru akan menjadi radius bulatan ini, di mana kami dapati 8 lampu. Kemudian untuk semua pokok Krismas yang cukup "jauh di dalam alun-alun," keadaan sekitar 8 lampu akan dipenuhi. Ia tetap untuk mengira apa yang "dalam dalam." Pokoknya harus sedemikian rupa sehingga ke kanan dan kirinya terdapat 7 "meter lama" dan di atas-bawah pada 8 "meter lama" tanglung. Berapa banyak pokok sedemikian pada segmen mendatar, jika bilangan lampu di sepanjang sisi alun adalah N? Kita mesti mengeluarkan pokok-pokok dari empat baris atas dan bawah dan pokok-pokok dari tiga bahagian kiri dan tiga bahagian tengah kanan. Iaitu, dalam setiap baris mendatar sekarang N – 7 pokok Krismas (dan tidak N – 1, seperti dahulu), dan kini terdapat baris seperti itu N – 8, tidak N. Perkara yang sama boleh dikatakan mengenai pokok-pokok di baris menegak, jadi jumlah pokok adalah 2 (N − 7)(N – 8). Ketaksamaan 2 (N − 7)(N − 8)>N2 dilakukan pada N ≥ 26 (Rajah 3). Dengan itu N keadaan tugas itu akan dipenuhi.

Rajah. 3


Selepas perkataan

Perhatikan bahawa dalam penyelesaian kami, kami menggunakan idea-idea yang dekat dengan yang dipertimbangkan dalam tugas Bulatan pada kertas berkotak. Ia menerangkan dengan terperinci bagaimana untuk mencari pada bidang paparan lingkaran yang melewati beberapa nod grid yang diberikan.Kami juga perhatikan bahawa tugas kami dapat diselesaikan dengan cara lain: lihat penyelesaian masalah M1129 dari "Questbook" dari "Quest".

Secara umumnya, masalah konfigurasi beberapa titik yang terhingga pada pesawat yang akan memuaskan sifat tertentu adalah banyak. Nampaknya semua ini harus menjadi "kebudak-budakan" soalan seperti kita, tetapi banyak masalah seperti menjadi ahli matematik yang sangat kompleks dan profesional yang terlibat dalamnya. Cabang matematik dikhaskan untuk masalah yang sama – geometri gabungan – dibangunkan pada abad XX, dan Paul Erdos memberikan sumbangan yang besar dalam proses ini.

Banyak masalah geometri gabungan yang menawan dengan kesederhanaan formulasi mereka. Sebagai contoh: untuk membuktikan bahawa jika tidak semua titik dalam pembohongan set pada satu baris, maka terdapat garis yang melewati dua titik ini. Inilah teorem teorem Sylvester-Gallai, yang telah diselesaikan agak lama. Tetapi, sebagai satu masalah yang baik, soalan-soalan lain ikut dari itu: kerana teorem ini menyatakan bahawa mesti ada sekurang-kurangnya satu garis lurus melewati betul-betul dua titik, berapa banyak garis lurus seperti itu boleh terjadi? Beberapa tahun yang lalu, satu artikel yang ditumpukan kepada isu ini telah diterbitkan oleh Terence Tao, yang sekali lagi menunjukkan bahawa dari soalan-soalan mudah ke canggih sains sering terdapat cara yang agak pendek.

Pengarang dan penyelesaian masalah: Konstantin Knop
Pengarang kata laluan: Evgeny Epifanov


Like this post? Please share to your friends:
Tinggalkan Balasan

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: