Melompat Vieta • Konstantin Knoop • Tugas sains popular mengenai "Elemen" • Matematik

Melompat Wieta

Tugas

Nombor semulajadi a dan b seperti itu a2 + b2 + 1 dibahagikan dengan ab tiada residu. Buktikannyakuah itu ialah 3.


Petua 1

Salah satu pasangan yang mungkin nombor yang memenuhi syarat adalah (1, 1), dan dua lagi – (1, 2) dan (2, 1). Pastikan bahawa untuk semua pasangan ini, jumlahnya ialah 3.


Petua 2

Sebagai pasangan (a, b) anda boleh mengambil mana-mana dua nombor bersebelahan dalam urutan 1, 1, 2, 5, 13, 34, 89, 233, … Cuba untuk menebak bagaimana urutan ini dibentuk, dan membuktikan fakta ini.


Petua 3

Cuba untuk membuktikan bahawa tiada penyelesaian lain selain pasangan nombor yang disenaraikan dalam petunjuk kedua.


Penyelesaian

Pertama, kita memberikan "halus" (dalam erti kata yang sama yang menapis minyak sayuran, iaitu, dimurnikan dari kekotoran), yang tidak menggunakan maklumat sakral yang kami sebutkan dalam petunjuk.

Letakkan \ (k = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2 + 1} % \). Jika (dan mengapa tidak?) a = b, maka keadaannya ialah 2a2 + 1 dibahagikan dengan a2. Sejak 2a2 sentiasa dibahagikan dengan a2maka 1 juga mesti dibahagikan dengan a2dari mana a = 1. Tetapi dengan a = b = 1 kita dapat \ {k = \ frac {1 + 1 + 1} % = 3 \), iaitu, untuk kes ini kita telah membuktikan segala-galanya.

Sekarang mari ab. Tanpa kehilangan generalisasi boleh dipertimbangkan a bkira-kirabahagian atas dua nombor (iaitu a > b).Kami akan cuba mencari satu lagi nombor semulajadi (a ', b '), yang juga akan memenuhi syarat masalah, tetapi akan kurang daripada yang asal.

Tulis semula persamaan pautan a, b dan kdalam bentuk a2kab + b2 + 1 = 0. Dan untuk membuatnya lebih memahami apa yang akan kita lakukan, bukannya a tulis x. Ini adalah persamaan kuadratik (berbanding dengan x): \ (x ^ 2-kb \ cdot x + (b ^ 2 + 1) = 0 \). Kami tidak akan menyelesaikannya, tetapi ingat bahawa akarnya x1 dan x2 (jika ada!) memenuhi teorem Viet:

\ [x_1 + x_2 = kb, \] \ [x_1 \ cdot x_2 = b ^ 2 + 1. \]

Salah satu akar yang kita tahu: x1 = a. Oleh itu, kita boleh mengatakan bahawa terdapat akar kedua \ (x_2 = kb-a = \ frac {b ^ 2 + 1} % \). Keadaan pertama memastikannya x2 adalah keseluruhan, dan yang kedua ialah positif. Itulah x2 – ini nombor semula jadi.

Jadi nombor x2 dan b juga memenuhi syarat masalah, iaitu, (x_2 ^ 2 + b ^ 2 + 1 \) dibahagikan dengan x2bdan jumlahnya sama dengan bilangan yang sama k. Dalam kes ini, sejak kita mengandaikannya a > bmaka \ (x_2 = \ frac {b ^ 2 + 1} % \ le \ frac {b ^ 2 + 1} {b + 1} <b \ b > 1. Kemudian sebagai pasangan yang lebih kecil kita boleh mengambil pasangan (b, x2).

Ternyata jika b > 1, maka Teorema Vieta memberi kita peluang untuk membuat "melompat" daripada penyelesaian (a, b) kepada penyelesaian yang lebih kecil (a ', b ') = (b, kb a).

Dan apa yang akan berlaku apabila lompatan membawa kami b = 1 (jelas, kerana ia sepatutnya berlaku lambat laun)?

Pada b Persamaan = 1 akan x2kx + 2 = 0. Memandangkan ia mempunyai akar semula jadi a, dan mengikut teorem Viet, hasil akar adalah 2, maka akar kedua ialah 2 /a. Dan kerana ia sama dengan integer kakemudian a mesti menjadi pembahagi 2. Ini memberikan dua kemungkinan:

1) jika a = 2, kemudian 4 – 2k + 2 = 0, dari mana k = 3.
2) jika a = 1, kemudian 1 – k + 2 = 0, dari mana lagi k = 3.

Kerana k tetap sama untuk semua "melompat" dibuat, kemudian k = 3 untuk mana-mana pasangan nombor (a, b). Ini adalah keputusan akhir.

Dan sekarang kita akan cuba untuk mencari tahu apa sebenarnya yang kita lakukan dan bagaimana kita sampai pada hasil yang dikehendaki. Terima kasih kepada arahan, ia diketahui bahawa sepasang nombor (a, b), memenuhi syarat masalah, ia adalah salah satu pasangan (1, 1), (1, 2), (2, 5), (5, 13), (13, 34), (34, 89) dan sebagainya. Corak yang tidak langsung menangkap mata, tetapi mungkin dapat diperhatikan apabila cuba menyelesaikannya, kelihatan seperti ini: jika kita menambah perbezaan antara setiap dua nombor sepasang, maka kita mendapatkan nombor Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 , 21, 34, 55, 89, … Untuk urutan ini, hubungan yang menghubungkan tiga ahli berturut-turutnya adalah sangat terkenal: fn+2 = fn + fn+1. Dan kerana urutan "kami" adalah nombor Fibonacci dengan bilangan yang sama, kita boleh menulis hubungan berulang untuknya:

\ f_ % + f_ {2n + 1} = f_ % + (f_ % + f_ {2n-1}) = 2f_ % + (f_ % -f_ {2n-2}) = 3f_ % -f_ {2n-2}. \]

Sesungguhnya, 5 = 3 · 2 – 1, 13 = 3 · 5 – 2, 34 = 3 · 13 – 5 dan sebagainya.

Di sini, pengganda 3 adalah yang sama yang kami tetapkan pada permulaan penyelesaian oleh surat itu k. Tetapi kita tidak boleh bergantung pada apa yang kita perlukan untuk membuktikan, bukan? Dan di sini teorem Viet datang untuk menyelamatkan, berkat peralihan dari satu penyelesaian ke seterusnya dibuat agak mudah dengan "melompat". Apabila melompat, kita mungkin tidak tahu apa nilai itu ktetapi dijamin bergerak dari penyelesaian yang lebih besar kepada yang lebih kecil, sambil mengekalkan nilai yang sama. k. Oleh itu, lambat laun kita akan mencapai penyelesaian "terkecil". Selebihnya sudah menjadi teknik.


Selepas perkataan

Dalam artikel Wikipedia, Vieta melompat, bahawa kaedah penyelesaian masalah ini muncul hanya pada tahun 1988 berkaitan dengan tugas yang dicadangkan oleh Australia untuk Olimpik Sekolah Antarabangsa. Inilah tugasnya:

Biarkan a dan b menjadi nombor semula jadi yang mana a2 + b2 dibahagikan dengan ab + 1. Buktikan bahawa kuantiti bahagian ini adalah persegi tepat.

Ini mengulangi cerita yang lucu, yang pertama kali diterangkan dalam buku "Penyelesaian Masalah Strategi" Arthur Engel:

"Tiada satu daripada enam anggota Pasukan Petugas Australia yang berjaya menyelesaikannya.Dua daripada ahli-ahli ini adalah György Sekeres dan isterinya, kedua-dua pengarang terkenal dan penyelesaikan masalah. Oleh kerana tugas ini berkaitan dengan teori nombor, ia dihantar kepada empat pakar paling terkenal dalam teori nombor di Australia. Mereka diminta untuk berfikir tentang tugas itu tidak lebih daripada enam jam. Dalam masa yang diperuntukkan, tiada seorang pun daripada mereka gagal. Oleh itu, jawatankuasa tugas mencadangkan tugas kepada juri XXIX International Olympiad, menandakan dengan dua bintang, yang bermaksud kerumitan yang sangat tinggi, mungkin terlalu tinggi untuk Olimpik. Setelah perbincangan panjang, juri bersetuju untuk memilihnya sebagai tugas terakhir yang paling sukar dalam Olimpik. 11 peserta menerima penyelesaian lengkap. "

Malah, tentu saja, penerimaan "lompat" telah diketahui lama sebelum Olimpik ini. Khususnya, masalah yang kita bincangkan adalah satu kes yang khusus dalam kajian persamaan Diophantine Markov yang terkenal, yang pertama kali dikaji oleh ahli matematik Rusia yang luar biasa, Andrei Andreevich Markov pada awal abad ke-19.

Persamaan Markov mempunyai bentuk

\ [a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 = 3abc. \]

Jika anda meletakkannya di dalamnya c = 1, ternyata betul persamaan yang kita hadapi. Adakah persamaan Markov mempunyai penyelesaian di mana c tidak sama dengan 1? Sudah tentu wujud.Dan pembaca sudah mempunyai segala yang diperlukan untuk mencari mereka.

Rajah. 1. Contoh keluarga kalangan adalah Apollonia. Gambar dari en.wikipedia.org

Satu lagi ilustrasi yang menarik mengenai gagasan "melompat Vieta" boleh ditetapkan oleh Apollonius – keluarga kalangan yang masing-masing membimbangkan tiga yang lain (Rajah 1, lihat: Gasket Apollonian).

Jika kita mengambil dari keluarga ini empat lingkaran yang berkaitan dengan pasangan, maka untuk radii mereka formula untuk kali pertama ditemui oleh ahli kimia terkenal (!) Frederick Soddy adalah sah:

\ frac1 {r_2 ^ 2} + \ frac1 {r_3 ^ 2} + \ frac1 {r_4 ^ 2} = \ frac12 \ left (\ frac1 {r_1} + \ frac1 {r_2} + \ frac1 {r_3} + \ frac1 {r_4} \ right) ^ 2. \]

Jika bukan radii ri bulatan mempertimbangkan kelengkungan mereka ki (nilai songsang ke radii), maka pecahan kompleks meninggalkan formula:

\ [k_1 ^ 2 + k_2 ^ 2 + k_3 ^ 2 + k_4 ^ 2 = \ frac12 (k_1 + k_2 + k_3 + k_4) ^ 2. \

Sebagai contoh, bagi empat bulatan terbesar dalam Rajah 1, lengkungnya ialah -1, 2, 2, dan 3 (tanda minus perlu diletakkan kerana hakikat bahawa sentuhannya adalah dalaman). Dan dari ini, sebagai pembaca yang bijak dapat meneka, hanya ada separuh langkah sebelum pernyataan bahawa kelengkungan setiap bulatan dalam set (tidak terbatas) Apollonian adalah integer, dan semua nombor ini dapat diperoleh dari satu sama lain dengan bantuan melompat Viet.

Persamaan Markov boleh didapati dalam artikel yang luar biasa oleh M. G.Kerina "Persamaan Diophantine A. Markov", pada set fraktal Apollonius – dalam kajian C. Miller (dalam bahasa Inggeris). Anda boleh mencari beberapa tugas yang indah, dalam menyelesaikan teknik lompat yang digunakan, di sini dan di sini.


Like this post? Please share to your friends:
Tinggalkan Balasan

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: