Mata dan garisan • Nikolay Avilov • Masalah sains popular mengenai "Elemen" • Matematik

Mata dan lurus

Tugas

Seperti yang kita diajar di sekolah dalam pelajaran geometri, melalui dua mata yang berbeza, adalah mungkin untuk menarik tepat satu garis lurus. Kita boleh mengatakan bahawa sepasang mata mentakrifkan garis unik. Tetapi jika terdapat lebih banyak mata, maka bilangan garis yang mereka tentukan mungkin berbeza. Sebagai contoh, bergantung kepada lokasinya, tiga titik dapat menentukan tiga garisan lurus (jika titik-titik ini adalah simpul dari segitiga yang tidak merosot) atau satu garis lurus (jika titik-titik ini bersifat collinear, iaitu, mereka terletak pada satu garis lurus). Sekiranya terdapat lebih banyak mata, maka terdapat lebih banyak peluang untuk susunan bersama, oleh itu, jawapan kepada persoalan "berapa banyak yang langsung menentukan ini n Akan ada banyak mata. "Tetapi tugas ini dicadangkan untuk menangani konfigurasi titik tertentu, dan kami akan membincangkan beberapa soalan umum kemudian.

Rajah. 1

a) Di atas kertas, kita mengambil satu persegi dengan lima sel dan menandakan semua mata di dalamnya dan di sempadannya – kita mendapat 36 mata dalam bentuk kisi 6×6 persegi (Rajah 1). Berapa ramai langsung menentukan perkara ini? Dan jika 64 mata (dalam bentuk grid 8 × 8)?

b) Panjang tepi tetrahedron tetap sama dengan 4. Pada setiap daripada mereka terdapat tiga titik yang membahagikan tepi ke segmen unit. Bahagian atas tetrahedron juga ditandai. Berapa ramai baris menentukan semua titik yang ditandakan?


Petunjuk

Cuba untuk mengira garis yang ditakrifkan oleh bilangan mata yang lebih kecil – 4, 9, atau 16 mata. Jika jawapan adalah 6, 20 dan 62 langsung, maka anda berada di landasan yang betul.

Kesukaran utama adalah bahawa beberapa baris lurus hanya melalui dua titik yang ditandakan, dan beberapa melalui tiga atau lebih titik yang ditandakan. Apabila menyelesaikan masalah, penting untuk mengatur sistem untuk mengira secara langsung.


Penyelesaian

Kami membahagikan semua garis lurus ke dalam kelas lurus garisan lurus selari. Garis lurus dengan satu cerun jatuh ke dalam setiap kelas. k.

Rajah. 2 Beberapa kelas garisan selari

Dalam ara. 2 menunjukkan beberapa kelas garisan. Koefisien sudutnya, kecuali 0 dan 1, adalah semua pecahan yang boleh diprediksi yang tidak dapat dibuktikan, penyebutnya tidak lebih dari 5. Untuk mendapatkan semua kelas secara umum, anda perlu mengambil kira simetri gambar. Oleh itu, apabila mengira, – dan angka-angka yang baru ditinggalkan untuk menambah, – bilangan baris dalam kelas dengan k = 0 dan k = 1 perlu dilipat ganda, dan dalam kelas lain – empat kali. Hasilnya ialah 2 × (6 + 9) + 4 × (5 + 4 + 3 + 2 + 10 + 6 + 15 + 12 + 12) = 306 baris.

Pengiraan yang sama untuk 64 mata akan memberi 938 baris.

Sekarang mari kita berurusan dengan tetrahedron. Masalah ini boleh dipertimbangkan dengan segera dalam bentuk umum. Biarkan kerangka tetrahedron dengan pinggir panjang m dibahagikan dengan titik-titik ke segmen tunggal.Berapa banyak garis lurus yang berbeza menentukan titik-titik ini dan titik-titik tetrahedron itu sendiri?

Tetrahedron mempunyai 4 simpang dan 6 ujung. Bersama-sama dengan titik-titik dan titik perpecahan pada rangka tetrahedron, 4 + 6 ditandai (m − 1) = 6m – 2 mata. Jika semua titik ini berada dalam kedudukan umum (iaitu, tidak ada tiga daripadanya akan terletak pada baris yang sama), maka mereka akan menentukan (6m − 2)(6m − 3)/2 = (3m − 1)(6m – 3) garis lurus (kerana jika titik berada di kedudukan umum, maka mana-mana dua daripadanya menentukan garis lurus mereka sendiri). Sekarang kita harus mengambil kira bahawa pada setiap pinggir tetrahedron ditandakan oleh m + 1 mata tidak berada di kedudukan umum. Sekiranya mata ini berada dalam kedudukan umum, mereka akan menentukan m(m + 1) / 2 garisan lurus. Tetapi semua garisan ini bertepatan – ini adalah garis yang mengandungi tepi tetrahedron. Oleh itu, jumlah baris yang ditakrifkan oleh titik yang ditunjukkan adalah (3m − 1)(6m − 3) − 6·m(m + 1) / 2 + 6. Selepas pemudahan, kita dapat 15m2 − 18m + 9 garis lurus. Dalam tugas kami m = 4, jadi jawapannya ialah 177 baris.


Selepas perkataan

Sekiranya kita menggunakan alasan yang digunakan untuk menjawab soalan pertama masalah, maka kita dapat mencari jawapan untuk kuadrat lain n2 mata. Di sini mereka adalah untuk n dari 2 hingga 10: 6, 20, 62, 140, 306, 536, 938, 1492, 2306. Urutan ini dimasukkan dalam jujukan ensiklopedia dalam talian di bawah nombor A018808.

Adakah formula yang mudah untuk menyatakan nombor itu N garisan sedemikian untuk sewenang-wenangnya n? Mari cuba cari dia.

Kami menggunakan dua fakta yang diketahui dari geometri kejadian.

1) Jika di satah pesawat, tandakan k poin dalam kedudukan umum (ingat bahawa ini bermakna bahawa tidak ada tiga titik ini terletak pada satu garis lurus), maka bilangan garis lurus yang berbeza yang ditentukan oleh titik ini sama dengan k(k − 1)/2.

Kami menggunakan pernyataan ini dalam penyelesaiannya, dan ia mudah dibuktikan dengan induksi.

2) Jika di atas kapal terbang tandas k mata yang tidak berada pada baris yang sama, maka mereka menentukan sekurang-kurangnya k garisan lurus yang berbeza.

Kenyataan kedua terdengar agak jelas, tetapi pertama kali dibuktikan hanya pada pertengahan abad ke-20 dan kini dikenali sebagai teorem de de Bruin – Erdos.

Berdasarkan kedua-dua sifat ini, anda boleh membuat anggaran nombor tersebut N(n). Dengan menggunakan fakta yang kedua, kita mendapat terikat bawah: N(n) ≥ n2. Dengan menggunakan fakta pertama, kami mendapat anggaran atas: N(n) ≤ n2(n2 – 1) / 2 adalah bilangan garisan yang ditentukan n2 mata kedudukan umum.

Ini bermakna jika terdapat formula N (n) dalam bentuk polinomial dari n, – dan ini mungkin merupakan formula paling ringkas, – polinomial ini hanya mempunyai 2, 3 atau 4 darjah. Menggunakan nilai-nilai pertama di atas N, dengan menggunakan kaedah pekali tidak terbatas, dapat ditunjukkan bahawa tidak ada formula dalam bentuk polinomial seperti itu.

Marilah kita cuba pendekatan lain dan umumkan kaedah mengira garis dengan membahagikan kelas selari ke dalam kelas. Setiap kelas merangkumi semua garis selari dengan pekali sudut k = a/b (selepas ini pecahan tidak dapat dibatalkan).

Oleh kerana mana-mana talian di atas kapal terbang adalah unik ditentukan oleh pekali sudut dan satu titik, bagi setiap kelas dengan k = a/b di dataran bertitik, pilih mata yang mentakrifkan semua baris kelas ini. Dalam kes ini, dua kes adalah mungkin:
1) jika b < n/ 2, maka titik-titik yang menentukan semua garis lurus dengan pekali sudut a/b, terletak di dalam segi empat tepat biru dan hijau yang ditunjukkan di kiri di rajah. 3, dan mereka b·(na) + a·(n − 2b) = n·(a + b) − 3ab;
2) jika bn/ 2, maka titik-titik yang menentukan semua garis lurus dengan pekali sudut a/b, terletak di dalam segi empat tepat biru yang ditunjukkan di sebelah kanan di rajah. 3, dan mereka (na) (nb).

Rajah. 3 Mata dengan bantuan yang mana anda boleh menentukan semua baris dari kelas tertentu dalam 100 mata persegi. Contoh kiri untuk k = 2/3, di sebelah kanan – untuk k = 2/7

Bilangan N(a/ba) garis lurus di kelas c k = a/b sama dengan bilangan mata yang dipilih, dan dikira oleh formula yang dijumpai di atas.

Oleh itu, nombor itu N(nsemua langsung, diberikan n2 mata boleh dikira dengan formula:

\ N (n) = 2 (N_0 + N_1) +4 \ sum \ limit_ {b = 2} ^ {n-1} \ sum \ limit_ {a = 1} ^ {b-1} frac ab \ right) \]

di mana N0 = n – bilangan garisan mendatar N1 = 2n – 3bilangan garisan selari dengan pepenjuru segi empat. Formula ini mudah untuk memprogram dan mengesahkan bahawa hasilnya sepadan.

Satu juga boleh mendapatkan hubungan berulang untuk bilangan garis lurus ditentukan oleh dataran dot, tetapi mereka juga menjadi agak rumit. Untuk butiran lanjut, rujuk artikel S. Mustonen, 2009. Pada baris dan titik persimpangan mereka.

Hujah-hujah yang diberikan untuk tetrahedron yang betul dalam kerja penyelesaian untuk mana-mana poliadron cembung di mana semua tepi sama dengan satu sama lain. Malah, tiada sifat tetrahedron tertentu digunakan di mana-mana, hanya bilangan simpang dan pinggirnya diambil kira. Maka penalaran itu diulang hampir verbatim.

Biarkan awak menjadi polyhedron B simpang dan P tulang rusuk. Bersama-sama dengan titik simpang dan membahagikan mata pada bingkai tanda bertanda In + R(m – 1) mata. Jika semua titik ini berada pada kedudukan umum, maka mereka akan menentukan \ (\ frac12 (B + P (m-1)) (B + P (m-1) -1) \) baris). Tetapi pada setiap hujung polistron ditandai dengan (m + 1) satu titik yang, jika mereka berada dalam kedudukan umum, akan menentukan m(m + 1) / 2 garis lurus, tetapi sebaliknya mereka hanya menentukan satu garis lurus yang mengandungi kelebihan. Ini bermakna bahawa semua mereka mesti ditolak dari jumlah keseluruhan dan bilangan baris yang mengandungi tepi mesti ditambah. Dapatkan

\ [\ dfrac12 (B + P (m-1)) (B + P (m-1) -1) -P \ cdot \ dfrac12m (m + 1) + P ..]


Like this post? Please share to your friends:
Tinggalkan Balasan

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: