Kerdil putih yang paling berat • Hayk Hakobyan • Tugas sains popular mengenai "Unsur" • Astronomi

Kerdil putih yang paling berat

Pada akhir perjalanan hidup mereka, bintang urutan utama membelanjakan sebahagian besar bekalan hidrogen mereka, kerana tekanan dalaman kehilangan keupayaan untuk mengekalkan pemampatan graviti pada cangkang (lihat tugas urutan utama). Bagi bintang dengan massa sehingga 8 kali jisim Matahari, mungkin terdapat dua hasil dalam keadaan ini. Dalam kes pertama, nukleus dapat runtuh sehingga saat tekanan elektron-elektron merosot menghentam keruntuhan, menjadikan nukleus menjadi kerdil putih. Dalam kes kedua, walaupun tekanan elektron-elektron yang merosot gagal menghentikan keruntuhan disebabkan graviti besar bahan, nukleus akan mengecut lebih jauh, manakala pada suhu tinggi dan neutron tekanan adalah kuantum yang merosot, tekanan yang telah mengimbangi keruntuhan, bintang neutron terbentuk.

Rajah. 1. Siklus hidup bintang. Oleh kerana turun naik secara rawak dalam awan debu gas, penebalan bahan boleh membentuk, yang secara beransur-ansur meningkat dalam saiz. Jadi globules muncul. Jika jisim gumpalan cukup untuk mampatan graviti, maka proses pembentukan bintang boleh bermula di dalamnya. Pada akhir hayat, bintang urutan utama berubah menjadi raksasa merah, yang nasibnya (lebih tepatnya, kematian) ditentukan oleh massa.Bintang-bintang yang tidak mencukupi runtuh menjadi bintang neutron atau kerdil putih, dan yang paling berat tidak berhenti dan runtuh lagi ke dalam lubang hitam. Gambar dari futurism.com

Dalam masalah ini, dicadangkan dari prinsip pertama untuk menentukan jisim maksimum kerdil putih. Untuk melakukan ini, ingatlah bahawa tenaga bintang ditentukan oleh jumlah tenaga termal dan graviti

\ [E _ {\ rm tot} = E _ {\ rm T} – \ frac {GM ^ 2} {R}. \]

Dalam kes kurcaci putih, kerana semua tekanan graviti lawan ditentukan oleh elektron yang merosot, ET – ini adalah tenaga haba elektron.

Tenaga zarah relativistik ditulis sebagai:

\ [E = \ sqrt {m ^ 2c ^ 4 + p ^ 2c ^ 2}, \]

di mana m – jisim zarah, p – dorongannya. Selain itu, untuk zarah bukan relativistik (perlahan) E = mc2, seperti yang sepatutnya (tenaga kinetik diambil kira dalam urutan penguraian), dan untuk zarah ultrarelativistik (cepat, tenaga kinetiknya lebih besar daripada tenaga rehat), kita mempunyai E = pc.

Kami mengandaikan bahawa semua elektron dalam kerdil putih kritikal berat adalah ultrarelativistik, iaitu, bagi mereka Ee = pec. Kemudian jumlah tenaga termal elektron akan sama dengan ET = Npecdi mana N – bilangan elektron, dan pe – nilai purata tertentu nadi masing-masing.

Untuk menganggarkan momentum purata, kita menggunakan hakikat bahawa semua elektron merosot. Untuk elektron yang merosot, dan juga untuk sebarang zarah dengan nilai spin setengah integer, prinsip pengecualian Pauli dikenakan. Dua elektron dengan putaran yang sama diarahkan tidak dapat menduduki keadaan yang sama.

Untuk memahami apa maksud ini, anda perlu menyediakan ruang fasa yang dipanggil untuk kes itu apabila hanya ada satu koordinat spasial x. Ruang ini adalah pesawat koordinat dengan paksi. px dan x. Titik \ ((p_x ^ 0 {,} ~ x ^ 0) \) dalam ruangan tersebut menandakan zarah dengan momentum \ (p_x ^ 0 \) terletak pada titik \ (x ^ 0 \) (Rajah 2). Untuk tiga dimensi ruang, ruang fasa akan menjadi enam dimensi dan sudah sukar untuk menariknya.

Rajah. 2 Ruang fasa dalam kes koordinat spatial tunggal x. Titik dalam ruang sedemikian mewakili zarah dengan koordinat tertentu dan momentum tertentu.

Apabila ia datang kepada zarah-zarah yang merosot kuantum, ruang fasa ini dibahagikan kepada sel-sel, setiap yang menurut prinsip ketidakpastian Heisenberg mempunyai jumlah \ (\ Delta p \ Delta x \ sim \ hbar \) (Rajah 3). Hanya dua elektron (dengan berputar bertentangan) boleh "dimasukkan" ke dalam sel kuantum tersebut.dan selebihnya daripada elektron perlu dimatikan dalam sel jiran.

Rajah. 3 Ruang fasa untuk satu koordinat spatial. Dalam kes zarah-zat yang merosot kuantum, jumlah sel minimum ialah \ (\ hbar \) (dalam kes tiga dimensi, seperti yang anda fikirkan, ia adalah \ (\ hbar ^ 3 \))

Oleh itu, dalam ruang denyut (sebahagian dari ruang fasa penuh), elektron akan menduduki semua sel (dua demi satu) sehingga dorongan tertentu, yang dipanggil Momentum Fermi pF. Tidak ada lagi elektron di atas momentum ini, dan di bawah semua sel diduduki oleh dua elektron (Rajah 4). Oleh itu, momentum elektron purata (atau ciri) akan menjadi adil pF/2.

Rajah. 4 Ruang denyutan tiga dimensi. Semua zarah dengan spin separuh integer menduduki sel yang momentumnya tidak melebihi momentum Fermi. Sel-sel tersebut membentuk sejenis "sfera"

Jadi jumlah elektron N sama dengan jumlah keseluruhan fasa (dalam ruang enam dimensi) dibahagikan dengan jumlah satu sel tersebut:

\ [N = 2 \ frac {\ Delta X \ Delta Y \ Delta Z \ Delta P_x \ Delta P_y \ Delta P_z} {\ Delta x \ Delta y \ Delta z \ Delta p_x \ Delta p_y \ Delta p_z} \]

Koefisien 2 timbul kerana kemungkinan dua elektron setiap sel, \ (\ Delta x \ Delta y \ Delta z \ Delta p_x \ Delta p_y \ Delta p_z \) adalah saiz satu sel, dan \ (\ Delta X \ Delta Y \ Delta Z \ Delta P_x \ Delta P_y \ Delta P_z \) ialah jumlah fasa keseluruhan.

Tugas

1) Dengan mengandaikan bahawa teras bintang itu secara elektriknya neutral dan sebahagian besarnya terdiri daripada hidrogen, tidak memasukkan semua koefisien berangka, cari jisim maksimum kerdil putih (jisim Chandrasekhar). Ekspresikannya dalam massa Matahari.
2) Memandangkan elektron bukan relativistik, cari pergantungan radius maksimum kerdil putih pada jisimnya.


Petua 1

Oleh kerana bintang itu bersifat neutral elektrik, mudah untuk mengaitkan jisim bintang dan bilangan elektron.


Petua 2

Fikirkan tentang keadaan di mana bintang itu akan stabil pada tenaga penuh. Di manakah jisim (atau jejari, jika kita bercakap tentang bahagian kedua masalah) keadaan ini dilanggar? Perhatikan bahawa dalam kes pertama, jawapannya hendaklah bebas daripada jejari.


Penyelesaian

Pertama, sejak bintang secara keseluruhannya neutral elektrik, bilangan elektron sepatutnya hampir sama dengan jumlah proton (sebenarnya, ia bergantung kepada komposisi, tetapi kita menghilangkan pekali berangka). Oleh sebab proton terutamanya menyumbang kepada jisim bintang, bilangan proton (serta bilangan elektron) akan N = M/mp.

Elektron ini mesti "dikemas rapat" menurut prinsip Pauli ke dalam sel-sel unit dalam ruang fasa enam dimensi.Dalam erti kata lain, jumlah elektron mesti sama dengan jumlah isipadu fasa yang dibahagikan dengan volum sel unit (dengan faktor 2, tetapi kita menghilangkannya)

\ [N \ sim \ frac {(\ Delta X \ Delta Y \ Delta Z) (\ Delta P_x \ Delta P_y \ Delta P_z) \ Delta p_z)} = \ frac {V (\ Delta P_x \ Delta P_y \ Delta P_z)} {\ Delta x \ Delta y \ Delta z \ Delta p_x \ Delta p_y \ Delta p_z} \]

Jumlah unit sel tunggal \ (\ Delta x \ Delta y \ Delta z \ Delta p_x \ Delta p_y \ Delta p_z \ sim \ hbar ^ 3 \), jumlah spatial \ (\ Delta X \ Delta Y \ Delta Z \ sim R ^ 3 \), dan "volum" yang diduduki oleh zarah dalam ruang denyutan, seperti yang dinyatakan di atas, sama dengan \ (\ Delta P_x \ Delta P_y \ Delta P_z \ sim p_F ^ 3 \). Oleh itu, kita ada

\ [\ frac {M} {m_p} \ sim \ frac {R ^ 3 p_F ^ 3} {\ hbar ^ 3}, \

di mana kita dapati itu

\ [p_F \ sim \ frac {\ hbar M ^ {1/3}} {R m_p ^ {1/3}}. \]

Sebagaimana yang dinyatakan di atas, elektron akan mempunyai semua nadi yang mungkin sehingga momentum Fermi yang mengehadkan. pF, oleh kerana itu kita boleh mengambilnya sebagai nilai (purata) ciri. Jumlah tenaga akan ditulis sebagai

\ [E _ {\ rm tot} \ sim N c p_F _ \ frac {GM ^ 2} {R} \ sim \ frac % {R} \ left (\ frac {c \ hbar M ^ {4/3} } {m_p ^ {4/3}} – GM ^ 2 \ kanan). \]

Ambil perhatian bahawa jumlah tenaga bintang, sebenarnya, bergantung kepada dua parameter – jisim M dan radius Rmanakala hanya massa yang menentukan tandanya. Magnitud

\ [M _ {\ rm Ch} \ sim \ frac % {m_p ^ 2} \ left (\ frac {c \ hbar} {G} \ right) ^ {3/2} \ sim 1 {,} 86 ~ M_ {Sun}, \]

yang juga dipanggil jisim Chandrasekhar, adalah had antara tenaga negatif negatif dan positif. Pengiraan yang lebih tepat dengan komposisi kimia yang realistik memberikan nilai \ (M _ {\ rm Ch} = 1 {,} 46 ~ M_ {Sun} \).

Pada \ (M> M _ {\ rm Ch} \) jumlah tenaga bintang adalah negatif dan berkadar dengan 1 /Ryang bermaksud nilai yang lebih kecil R akan memberikan keadaan bintang yang lebih stabil, yang mana ia akan berusaha. Ini bermakna runtuhan "tidak berkesudahan" ke arah jejari yang lebih kecil. Oleh itu, jika terasnya lebih besar daripada jisim batasan ini, ia akan runtuh lagi.

Walau bagaimanapun, masalahnya adalah dengan \ (M <M _ {\ rm Ch} \) jumlah tenaga adalah positif, dan ini, sebagaimana yang diketahui, bermaksud pengembangan sistem, iaitu peningkatan radius (untuk meminimumkan Etot). Walau bagaimanapun, ambil perhatian bahawa \ (p_F \ propto 1 / R \), momentum Fermi akan berkurangan apabila jejari bertambah.

Dalam penyelesaian, kami menganggap bahawa zarah adalah ultrarelativistik dan bagi mereka \ (p_F c \ gg m_e c ^ 2 \), bagaimanapun, andaian ini boleh dipecahkan dengan cukup kecil \ (p_F \ sim m_e c \), iaitu, R > R0di mana

\ [R_0 \ sim \ frac {\ hbar M ^ {1/3}} {m_p ^ {1/3} m_e c}. \]

Kemudian anda perlu menggunakan formula lain untuk tenaga terma, iaitu \ (E _ {\ rm T} = p_F ^ 2 / 2m_e \), yang akan memberi kita tenaga jumlah ekspresi

\ {E _ {\ rm tot} \ sim \ frac {\ hbar ^ 2 M ^ {5/3}} {m_p ^ {5/3} m_e R ^ 2} – \ frac {GM ^ 2} {R}. \]

Ketergantungan tenaga pada radius ditunjukkan dalam Rajah. 5. Seperti yang dapat dilihat, terdapat stabil (Etot <0) minimum pada R = RWdyang mana sistem akan berusaha.

Rajah. 5 Grafik pergantungan tenaga keseluruhan kerdil putih pada jejari (\ (MR < R0 elektron adalah ultrarelativistik dan ketergantungan berbanding berkadar dengan radius. Pada R > R0 Ketagihan adalah sedikit lebih rumit dan mempunyai tenaga minimum. Graf dari buku Mekanik Kuantum dan Astrofizik V. S. Beskin

Anda boleh dengan mudah mendapati minimum ini (sejak Etot adalah dummy persegi berbanding 1 / R):

\ [R _ {\ rm WD} \ sim \ frac {\ hbar ^ 2} {Gm_p ^ {5/3} m_e M ^ {1/3}}. \]

Sekiranya kita menggantikan jisim Chandrasekhar bukan massa, kita mendapat sesuatu dalam semangat 5000 km, iaitu, bintang jisim suria saiz Bumi.


Selepas perkataan

Secara semulajadi seperti analisis remeh "pada jari" tidak berpura-pura keterangan kuantitatif yang tepat. Bagaimanapun, cukup aneh, secara kualitatif dan secara kuantitatif, mengikut magnitud, jawapannya betul. Lagipun, sesungguhnya, semasa kejatuhan nukleus pada satu ketika, degenerasi kuantum elektron "beralih ke".

Sekiranya jisim nukleus lebih tinggi daripada had Chandrasekhar, tekanan ultrarelativistic elektron degenerate tidak dapat menghentikan pemampatan, dan bintang akan runtuh lagi ke dalam bintang neutron. Jika tidak, keseimbangan tertentu akan ditubuhkan di antara tekanan merosot elektron dan graviti yang tidak berkaitan, di mana minimum jumlah tenaga akan direalisasikan.

Massa maksimum Chandrasekhar sangat penting.Supernovae jenis pertama (Ia) timbul dalam sistem double accreting, di mana benda dari bintang pengiring besar mengalir ke kerdil putih yang berdekatan. Satu simulasi proses sedemikian ditunjukkan dalam video:

Kerana bahan yang bocor, jisim kerdil putih bertambah dan pada satu ketika boleh melebihi had Chandrasekhar. Kemudian keruntuhan selanjutnya bermula, dan sistem meletup seperti supernova Ia. Oleh kerana kita tahu dengan tepat apa jisim letupan ini berlaku (1.44-1.46 massa matahari bergantung kepada komposisi dan faktor lain), kita boleh meramalkan tenaga dan tempoh letupan.

Mengetahui tenaga dan tempoh secara teoritis, adalah mungkin untuk menentukan dengan ketepatan yang tinggi jarak ke supernova yang meletup. Ini menjadikan jenis supernovae Ia dikenali sebagai "standard lilin", parameter yang diketahui oleh kami terlebih dahulu. Khususnya, dengan menganalisis letupan supernova yang sangat jauh Ia pada akhir abad ke-20, ditunjukkan bahawa Universe kami berkembang dengan percepatan.

Pada permulaan pendahuluan, kami menyebut bahawa "sempadan" kedua sebelum lubang hitam untuk bintang yang runtuh adalah bintang neutron. Di dalamnya, tekanan neutron degenerate (juga zarah dengan spin separuh integer) telah menghentikan pemampatan graviti bintang.Sama seperti kerdil putih, bintang neutron mempunyai jisim muktamad, yang dipanggil batas Tolman-Oppenheimer-Volkov, TOV (had Tolman-Oppenheimer-Volkoff).

Walau bagaimanapun, derivasi nilai ini memerlukan mengambil kira kesan relativiti umum, kerana dimensi sistem sedemikian (kira-kira 10 km) adalah setanding dengan dimensi kejadian Schwarzschild bagi objek jisim surya (\ (2GM / c ^ 2 \ sim 3) km). Di samping itu, untuk ketumpatan yang besar (ketumpatan bintang neutron lebih dekat ke pusat melebihi kepadatan nukleus atom), perakaunan yang sangat tepat mengenai interaksi kuat antara nukleon diperlukan. Ini sangat merumitkan pengiraan jisim maksimum TOV, tetapi dipercayai bahawa nilai sebenar berada di antara 1.5 dan 3 massa solar.


Like this post? Please share to your friends:
Tinggalkan Balasan

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: