Kejatuhan helang atau ekor dapat diprediksi dengan tepat • Yuri Erin • Berita sains mengenai "Unsur" • Fisika, Matematik

Kejatuhan helang atau ekor boleh diprediksi dengan tepat

Rajah. 1. Model tiga dimensi duit syiling yang tidak sesuai. Rajah. dari artikel yang dipersoalkanLaporan Fizik

Eagle atau ekor? Di bawah keadaan tertentu, hasil melemparkan duit syiling dapat diprediksi dengan tepat. Keadaan khusus ini, seperti yang baru-baru ini ditunjukkan oleh pakar fizik teori Poland, adalah ketepatan yang tinggi dalam menetapkan kedudukan awal dan halaju koin jatuh.

Menurunkan helang atau ekor ketika melemparkan duit syiling adalah contoh klasik dari proses rawak dengan hasil yang boleh dicapai. Artikel yang relatif baru muncul oleh ahli fizik Polandia yang melakukan kajian teoritis tentang fenomena ini dan menyimpulkan bahwa, pada prinsipnya, mungkin untuk memprediksi dengan tepat hasil koin jatuh.

Tiada yang luar biasa dalam kaedah mengkaji masalah ini oleh ahli fizik yang dicipta. Untuk memulakan, dalam artikel mereka mereka menyampaikan duit syiling dalam bentuk silinder radius r dan ketinggian (ketebalan duit syiling) h (lihat rajah 1)

Seterusnya, para penyelidik membincangkan duit syiling sebagai badan padat yang pusatnya boleh bertepatan dengan pusat geometri (dalam Rajah 1, mata B dan C harus digabungkan – syiling ideal 3D), atau, lebih dekat dengan realiti, koordinat geometri Pusat dan pusat jisim adalah berbeza (syiling tidak sempurna 3D – lihat Rajah 1).

Untuk analisis penuh, para penulis mempertimbangkan koin bukan hanya sebagai model 3D, tetapi juga mempermudahnya dengan versi dua dimensi (2D), yang bermaksud ketebalan koin dapat diabaikan. h = 0. Kenapa ini boleh dibincangkan di bawah.

Kejatuhan koin dan perlanggaran berikutnya dengan permukaan digambarkan menggunakan parameter Rodrigues-Hamilton. Kaedah menggambarkan pepejal adalah berdasarkan penggunaan alat quaternion (dalam kesusasteraan bahasa Inggeris, parameter Rodrigue-Hamilton dipanggil parameter Euler, tidak boleh dikelirukan dengan kaedah penerangan lain – sudut Euler, sudut Euler). Kelebihan kaedah quaternion adalah bahawa ia mengelakkan singulariti dalam proses menyelesaikan persamaan gerakan (anda boleh membaca tentang penggunaan quaternions untuk menggambarkan kinematik dan dinamik badan padat di sini, PDF, 1 Mb).

Para saintis sedang mengkaji kejatuhan syiling dengan bermartabat satu zloty, jisimnya adalah 2 g, radius 1.25 cm dan ketebalan 0,2 cm, dan dalam perhitungannya mereka meneruskan dari parameter ini. Dianggap bahawa pusat jisim duit syiling mungkin dialihkan dengan beberapa jarak (model 3D syiling bukan ideal), atau ia tidak boleh diubah (model 3D syiling yang ideal).Pilihan yang sama telah dipertimbangkan untuk model 2D dengan pusat geometrik yang bersesuaian dan tidak bersesuaian dan pusat jisim.

Rajah. 2 Vektor halaju titikA dan komponen skalarnya selepas pelanggaran dengan permukaan. Rajah. dari artikel yang dipersoalkanLaporan Fizik

Oleh itu, biarkan syiling jatuh dari ketinggian z0 (dengan kata lain, kedudukan awal pusat jisim (x0, y0, z0)), sebelum memulakan pergerakannya, ia berorientasikan pada ruang pada sudut (ψ0, θ0, φ0), halaju awal pusat jisim objek di bawah kajian (ν0x, ν0y, ν0z) dan halaju sudut awal syiling (ωξ0, ωζ0, ωη0). Perlu diingat bahawa proses bertabrakan syiling dengan permukaan tidak sempurna (iaitu, ia tidak semestinya elastik atau tidak sempurna). Terdapat kadar pemulihan χ <1 yang bersamaan dengan di mana νAz dan ν\’Az – unjuran pada paksi z halaju A sebaik sebelum dan selepas perlanggaran dengan permukaan (lihat Rajah 2).

Rintangan udara semasa jatuh dan putaran syiling juga diambil kira. Untuk ini, eksperimen khas dijalankan untuk menentukan keadaan normal λn dan tangen λτ (koin berputar ketika jatuh) pekali rintangan udara ketika koin jatuh. Nilai-nilai ini ternyata masing-masing adalah 0.8 dan 0.2.Hasil simulasi berangka (menyelesaikan persamaan gerak) dari koin jatuh ditunjukkan dalam Rajah. 3

Rajah. 3 Hasil simulasi berangka jatuh syiling: a) Syiling tidak sempurna 3D b) Syiling sempurna 3d c) 2D syiling tidak sempurna d) Syiling 2D sempurna. Rajah. dari artikel yang dipersoalkanLaporan Fizik

Selepas itu, penulis mengesan kebergantungan z koordinat (ketinggian semasa syiling) tepat pada masanya untuk kes ketinggian awal yang sedikit berbeza dari kejatuhan: z0 = 0.40001 m (Rajah 4a), z0 = 0.40002 m (Rajah 4b), z0 = 0.40003 m (Rajah 4c), z0 = 0.40004 m (Rajah 4d), z0 = 0.40005 m (Rajah 4e) dan z0 = 0.40006 m (Rajah 4f). Baki keadaan awal adalah seperti berikut: x0 = y0 = 0, ν0x = ν0y = ν0z = 0, φ0 = ψ0 = 0, θ0 = 7π/180, ωξ0 = 0, ωζ0 = 0, ωη0 = 40.15 rad / s.

Rajah. 4 Keputusan melemparkan duit syiling dari ketinggian a) z0 = 0.40001 m, b) z0 = 0.40002 m, c) z0 = 0.40003 m, d) z0 = 0.40004 m, e) z0 = 0.40005 m dan f) z0 = 0.40006 m Untuk semua kes x0 = y0 = 0, ν0x = ν0y = ν0z = 0, φ0 = ψ0 = 0, θ0 = 7π/180, ωξ0 = 0, ωζ0 = 0, ωη0 = 40.15 rad / s χ = 0.8. Rajah. dari artikel yang dibincangkan. Garis lurus selari dengan paksit, sepadan dengan koordinat pusat jisim duit syiling, apabila ia adalah kelebihan di permukaan. Rajah. dari artikel yang dipersoalkanLaporan Fizik

Tingkah laku terperinci syiling apabila ia bertembung dengan permukaan dalam julat 1-1.5 saat pergerakan ditunjukkan dalam Rajah. 5

Rajah. 5 Grafik terperinci yang ditunjukkan dalam Rajah. 3, dalam selang masa 1 hingga 1.5 saat. a) z0 = 0.40001 m, b) z0 = 0.40002 m, c) z0 = 0.40003 m, d) z0 = 0.40004 m, e) z0 = 0.40005 m dan f) z0 = 0.40006 m Untuk semua kes x0 = y0 = 0, ν0x = ν0y = ν0z = 0, φ0 = ψ0 = 0, θ0 = 7π/180, ωξ0 = 0, ωζ0 = 0, ωη0 = 40.15 rad / s, χ = 0.8. Rajah. dari artikel yang dibincangkan. Garis lurus selari dengan paksit, sepadan dengan koordinat pusat jisim duit syiling, apabila ia adalah kelebihan di permukaan. Rajah. dari artikel yang dipersoalkanLaporan Fizik

Dari sini kami mendapat urutan yang menunjukkan bagaimana sisi koin jatuh dari perubahan ketinggian yang diberikan berkenaan dengan pemerhati. z0, pada setiap kesan dengan permukaan:

H Hhh Hhh Hhh T T T HH untuk z0 = 0,40001

H Hhh HH TT Hhh T T T untuk z0 = 0,40002

H Hhh Hhh HH H T T T T T untuk z0 = 0,40003

H Hhh TTT TTT T H H H H H untuk z0 = 0,40004

H Hhh Hhh TTT Hhh H T TT untuk z0 = 0,40005

H Hhh Hhhh TT T Hhhhh TT untuk z0 = 0,40006.

Di sini H menunjukkan helang (kepala), T – ekor (ekor), dan bulatan "memisahkan" setiap kesan duit syiling dengan permukaan.

Menariknya, terdapat, seperti yang ditunjukkan oleh penulis, dua mekanisme untuk "menukar" sisi duit syiling dari helang ke ekor dan sebaliknya (Rajah 6). Sekiranya momentum sudut koin kecil, maka perubahan sisi duit syiling berlaku akibat dari kecederaan sifar "rattle" yang sangat pendek dan eksponen (Rajah 6a; ini "kerincingan" bertanggungjawab untuk urutan sama H atau T – lihat di atas); jika tidak, apabila momentum sudut koin cukup besar berbanding senario tingkah laku pertama,"Beralih" antara sisi duit syiling berlaku di atas permukaan (Rajah 6b).

Rajah. 6 Dua jenis perlanggaran syiling yang membawa kepada perubahan di sisi duit syiling: a) satu urutan "beralun" dari duit syiling dengan momentum sudut yang kecil, b) perlanggaran dengan permukaan koin dengan momentum sudut yang besar. Rajah. dari artikel yang dipersoalkanLaporan Fizik

Secara umum, mudah untuk melihat perubahan kecil dalam salah satu keadaan awal (dalam kes ini, ketinggian kejatuhan) membawa kepada perbezaan yang signifikan dalam trajektori duit syiling dan, dengan itu, kepada perubahan dalam keputusan akhir kejatuhan. Ini amat jelas dilihat dalam contoh trajektori pusat jisim duit syiling (Rajah 7).

Rajah. 7 Lintasan pusat jisim duit syiling. Keadaan awal adalah sama (lihat Rajah 3 dan 4). Rajah. dari artikel yang dipersoalkanLaporan Fizik

Menyimpulkan semua keputusan, para penyelidik menarik kesimpulan lokal mengenai pergerakan duit syiling:

1) jika jarak antara pusat geometri dan pusat jisim duit syiling adalah sangat kecil, maka seseorang boleh mempertimbangkan model dua dimensi duit syiling yang ideal tanpa kehilangan ketepatan (iaitu, mengabaikan ketebalannya);

2) apabila ketinggian kejatuhan koin adalah kecil, sebagai contoh, seperti contoh simulasi berangka yang dinyatakan di atas,rintangan udara mempunyai kesan yang sangat lemah terhadap hasil kejatuhan, dan oleh itu rintangan ini boleh diabaikan.

Sebenarnya, selepas semua perhitungan, simulasi dan gambar, pembaca mungkin akan mempunyai soalan: jadi mengapa kehilangan helang atau ekor disebut proses rawak?

Jawapannya terletak pada analisis "potret" fasa pergerakan syiling. Persamaan yang digunakan oleh pengarang kajian menentukan kebergantungan masa enam koordinat (tiga Cartesian + tiga sudut). Jika kita menetapkan semua syarat awal kecuali, sebagai contoh, dua – z0 dan ωξ, – dan menggambarkan ruang fasa (kira-kira bercakap, set negeri) syiling untuk bilangan pelanggaran yang berlainan, maka anda dapat melihat gambar berikut, yang diwakili oleh satu siri graf dalam Rajah. 8

Rajah. 8 "Potret" gerakan gerakan duit syiling ideal 2D, menunjukkan untuk mana dua parameter permulaan, dengan empat yang lain tetap, helang jatuh (kawasan hitam), dan yang mana ekor (kawasan putih) selepas nperlanggaran ke atas dengan permukaan. (a, e) n = 0, (b, f) n = 2, (c, g) n = 5, (d, h) n = 9. (a-d) – Rintangan udara telah diambil kira (e-h) – Rintangan udara tidak diambil kira. Rajah. dari artikel yang dipersoalkanLaporan Fizik

Di sini, kawasan putih menandakan set keadaan awal yang diperlukan untuk kejatuhan ekor, kawasan hitam untuk kehilangan helang. Semakin banyak syiling bertabrakan dengan permukaan, semakin kecil saiz wilayah, yang artinya padaselang keadaan awal yang sepadan dengan hasil yang tidak jelas – helang atau ekor. Perhatikan bahawa ini hanya ruang fasa dua dimensi, iaitu, hanya dua keadaan awal yang berubah. Sudah tentu, sukar untuk menggambarkan ruang enam dimensi (hanya 6 keadaan awal), tetapi contoh ini cukup untuk memahami betapa tinggi ketepatan dalam menentukan keadaan permulaannya – perubahan yang sedikit dapat mempengaruhi keputusan terakhir lontaran. Fizik dalam kes-kes seperti ini mengatakan bahawa ruang fasa syiling adalah penarik pelik (contoh yang paling terkenal dari penarik pelik adalah pencetus Lorentz).

Oleh itu, jika kita menetapkan syarat-syarat awal dengan ketepatan yang sesuai ε, hasil kejatuhan duit syiling dapat diramalkan. Ia hanya untuk mengetahui apa yang "ketepatan yang sesuai" ini.Para saintis Poland telah membuat kesimpulan bahawa urutan koin jatuh akan rawak jika nisbahnya ε Wdi mana W – lebar kawasan syiling duit syiling mantap yang diberikan. Seperti yang kita lihat dari rajah. 8, nisbahnya ε W Ia akan dilakukan dengan baik selepas pelanggaran kedua syiling dengan permukaan, manakala ruang fasa syiling menyerupai fraktal, jadi masuk akal untuk membicarakan proses "fraktalisasi" ruang fasa apabila syiling bertabrakan dengan permukaan.

Hasil utama kajian ini adalah seperti berikut. Walaupun perbezaan dalam keadaan sempadan antara kejatuhan helang atau ekor adalah "lancar", dalam praktiknya perbezaan ini sangat kecil sehingga sangat sulit untuk mengambilnya menjadi kenyataan – ketidaktepatan terkecil dalam menetapkan keadaan awal akan mengakibatkan ketidakpastian sebagai hasil meramalkan helang atau ekor (terutama jika jumlah perlanggaran syiling dengan permukaan lebih besar daripada 2).

Sumber: J. Strzałko, J. Grabski, A. Stefański, P. Perlikowski, T. Kapitaniak. Dynamics of coin tossing are predictable // Laporan Fizik (7 September 2008); doi: 10.1016 / j.physrep.2008.08.003.

Yuri Yerin


Like this post? Please share to your friends:
Tinggalkan Balasan

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: