Kedudukan yang tepat • Evgeny Anikin, Evgeny Epifanov • Tugas sains popular mengenai "Unsur" • Matematik, Fizik

Kedudukan yang tepat

Tugas

Ramai yang biasa dengan sistem navigasi satelit. Yang paling terkenal – GLONASS Rusia dan GPS Amerika – kini digunakan hampir di mana-mana dalam pelayaran kereta dan telefon pintar. Secara umum, operasi sistem ini adalah seperti berikut. Keluarga satelit diselaraskan oleh pusat kawalan tanah supaya setiap satelit "mengetahui" kedudukannya dan bahawa masa mereka disegerakkan. Satelit sentiasa menghantar data ini (koordinat spasial dan masa) ke Bumi, dan peranti pengguna mengambilnya dan cuba mengira koordinat mereka dalam masa nyata.

Berdasarkan skim mudah seperti itu, beritahu saya berapa banyak sekiranya satelit harus "melihat" penerima pengguna pada masa yang sama agar dengan tepat (katakan, dengan kesilapan dalam masa 20 m) menentukan kedudukan mereka?


Petunjuk

Tugas penerima adalah untuk mengira koordinatnya dari data yang berasal dari satelit. Koordinat adalah tiga pembolehubah spatial, jadi sistem sekurang-kurangnya tiga persamaan diperlukan untuk menentukannya (iaitu, data dari sekurang-kurangnya tiga satelit diperlukan). Fikirkan bagaimana persamaan-persamaan ini boleh diperolehi dalam keadaan mudah kita dan untuk sebab teknikal apa persamaan sebenarnya tidak cukup.


Penyelesaian

Oleh itu, penerima pengguna, berkata, pelayar, menerima dari setiap satelit isyarat dengan tiga koordinat spatial satelit dan masa menghantar isyarat ini. Data ini cukup untuk menyatakan jarak dari satelit kepada pelayar dalam dua cara dan mendapatkan persamaan yang diperlukan.

Jika koordinat yang diperlukan oleh navigator (x, y, z), dan koordinat satelit (xs, ys, zs), maka, oleh teorem Pythagorean, jarak antara mereka adalah

\ (\ sqrt {(x-x_s) ^ 2 + (y-y_s) ^ 2 + (z-z_s) ^ 2} \).

Isyarat dari satelit menyebarkan pada kelajuan cahaya. dengan, jadi jika ia dipancarkan pada satu ketika t0, dan diterima oleh navigator pada masa ini t1maka jarak yang sama sama c(t1t0). Ini memberikan persamaan. Data dari tiga satelit membolehkan anda membuat sistem tiga persamaan untuk tiga tidak diketahui (x, y, z). Apakah tangkapan?

Fakta bahawa yang tidak diketahui itu tidak benar-benar tiga, tapi empat, kerana anda tidak boleh bergantung pada ketepatan tinggi jam dalam navigator. Sebagai contoh, kesilapan satu sepuluh ribu peratus – apabila bukan satu saat, jam mengukur 1.000001 saat, dan hanya kira-kira dua setengah saat tambahan dalam sebulan – akan memberikan kesilapan kira-kira 20 meter apabila menentukan jarak ke satelit.Dalam jam tangan biasa, ketepatan strok adalah beberapa kali lebih rendah dan kesilapan meningkat. Oleh itu, satu lagi yang tidak diketahui dimasukkan ke dalam pengiraan – ralat jam penerima. Kerana ini, terdapat keperluan untuk persamaan yang lain, yang bermakna mesti ada sekurang-kurangnya empat satelit.


Selepas perkataan

Dalam sistem navigasi satelit yang benar-benar berfungsi, semuanya tentu saja lebih rumit. Pengiraan koordinat navigator dalam pelbagai cara mengambil kira banyak faktor yang memperkenalkan kesilapan dalam menentukan kedudukan yang tepat: ini adalah masalah dengan menentukan kedudukan satelit sendiri, penyimpangan isyarat yang diperkenalkan oleh atmosfera, dan juga kesan relativistik. Perbincangan terperinci tentang isu-isu ini boleh didapati dalam artikel Analisis ralat untuk Sistem Kedudukan Global, serta kesusasteraan yang ditunjukkan di dalamnya.

Satelit GLONASS terletak di orbit pekeliling dengan ketinggian 19,400 km. Sekarang terdapat 27 satelit dalam buruj, 24 daripadanya digunakan untuk tujuan mereka (dua lagi berada dalam rizab dan satu berada dalam tahap ujian). Seperti yang dapat dilihat dari angka, orbit satelit dibahagikan kepada tiga keluarga.

Orbit satelit sistem GLONASS (garis biru). Satelit itu sendiri ditetapkan titik merah. Titik kelabu – satelit lain.Adalah dilihat bahawa Bumi diselubungi dalam "awan" sejumlah besar satelit bumi berhampiran, dan keluarga satelit di orbit geostasioner juga dilihat. Imej dari stuffin.space

Persoalan berikut timbul: apakah bilangan minimum satelit yang diperlukan untuk menyediakan liputan lengkap Bumi dan supaya pada bila-bila masa terdapat empat satelit yang dapat dilihat dari mana-mana titik di permukaan? Sudah tentu, di sini anda perlu membuat banyak penyederhanaan dengan segera, mengurangkan tugas itu kepada geometri semata-mata (benar, geometri adalah sfera di sini): Bumi harus dianggap sebagai sfera, orbit – bulatan yang pusatnya bertepatan dengan pusat sfera, orbit dari satu keluarga – bertepatan. Adakah mungkin, tanpa menggunakan komputer, untuk mendapatkan anggaran tepat bilangan minimum satelit?

Menurut pengiraan pengarang masalah, secara teorinya, 18 satelit boleh cukup untuk GLONASS. Jika sesiapa pembaca mendapat penarafan yang lebih rendah dengan cara yang agak mudah (dan tanpa bantuan komputer), kami akan senang mengetahui. Secara umum, penalaran adalah seperti berikut. Biarkan enam satelit berputar pada selang masa biasa di sepanjang orbit khatulistiwa dengan jejari 25,800 km. Kemudian boleh dikira bahawa pada latitud kurang daripada 60 ° sekurang-kurangnya dua satelit sentiasa kelihatan.

Sesungguhnya satelit dalam orbit sedemikian boleh dilihat dari bulatan sfera dengan jejari

\ (\ alpha = \ frac \ pi2- \ mathrm % \ left (\ frac R {r_s} \ right) \ approx75 {,} 6 ^ \ circ \

di mana R = 6400 km adalah radius Bumi, dan rs = 25 800 km – jejari orbit satelit. Perkataan "jejari" (dan sebutan lain untuk panjang) selepas ini bermakna radius sfera, iaitu ukuran sudut arka bulatan besar sfera. Sebaik sahaja satelit diedarkan secara sama rata di orbit, pusat-pusat lingkaran yang bersamaan (kawasan penglihatan) adalah 60 ° di antara satu sama lain di khatulistiwa. Sekiranya kita melukis tiga bulatan berturut-turut, jelas bahawa di atas pusat tengah terdapat satu zon di mana hanya satu satelit yang dapat dilihat. Titik bawah zon ini adalah titik persilangan bulatan bersebelahan dengan pertengahan. Oleh itu, latitud maksimum zon, dari mana sekurang-kurangnya dua satelit sentiasa kelihatan, adalah ketinggian segitiga sfera dengan sisi (2π / 3, α, α). Ketinggian boleh didapati oleh formula Napier, kerana ia membahagi segitiga ini menjadi dua sama dan membentuk sudut yang tepat dengan khatulistiwa.

Oleh itu, bagi setiap orbit terdapat dua "topi" sfera dengan radius kurang daripada 30 °, di mana sekurang-kurangnya dua satelit tidak selalu kelihatan. Tiga "topi" semacam itu boleh dengan mudah diletakkan di atas hemisfera tanpa persimpangan: anda boleh berbaris sepanjang bulatan besar melalui tiang.Mereka tidak akan merangkak ke atas hemisfera, kerana "penyelesaian" sudut tengah bagi setiap "topi" adalah kurang daripada 60 °, iaitu, ketiga "topi" sesuai dengan 180 °. Sebaik sahaja mereka boleh diletakkan seperti ini, tiga orbit sama dengan enam satelit pada setiap akan meliputi seluruh Bumi dan dari setiap titik di permukaan bumi empat satelit akan sentiasa kelihatan. Lagipun, jika kita berada di dalam "topi" yang dimiliki oleh mana-mana satu orbit, maka kita berada di luar dua "topi" lain, dan pada setiap dua orbit sama kita sentiasa melihat sekurang-kurangnya dua satelit.


Like this post? Please share to your friends:
Tinggalkan Balasan

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: