"Hard" tilas • Khaidar Nurligareev • Tugas sains popular mengenai "Unsur" • Matematik

“Hard” tilings

Tugas

Mudah untuk jubin pesawat dengan jubin segitiga sama (Rajah 1, kiri). Skim sedemikian sesuai untuk mana-mana segitiga. Kita boleh mengatakan bahawa jubin ini adalah "tidak tegar" dalam erti kata bahawa jika kita sedikit mengubah perkiraan segitiga (mereka masih perlu sama), sekali lagi kita memperoleh jubin pesawat menurut skim ini (Rajah 1, kanan).

Rajah. 1.

Tetapi ia berlaku dengan cara yang berbeza. Lihat gambar. 2: di sini, semua segitiga sama, tetapi skim ini berfungsi hanya untuk bahagian segi tiga sepenuhnya. Kita boleh mengatakan bahawa kecondongan sedemikian adalah "keras".

Rajah. 2

a) Dengan mengandaikan bahawa semua segitiga dalam rajah. 2 adalah sama cari sudut dan nisbah aspek mereka. Buktikannyabahawa dari angka mereka ditentukan dengan tegas.

b) Datang dengan "keras" jubin segi empat tepat cembung.

c) Datang dengan "keras" jubin pentagon yang sama (tidak semestinya cembung).


Petua 1

a) Untuk mendapatkan syarat bahawa sudut segitiga mesti memuaskan, ia cukup untuk menggunakan hakikat bahawa jumlah sudut yang bersebelahan dengan setiap puncaknya adalah 360 °. Dan untuk mencari syarat-syarat di sisi, adalah berguna untuk mempertimbangkan segmen-segmen yang dibentuk oleh beberapa pihak yang bersebelahan segitiga.

Perhatikan bahawa sudut dan sisi tidak boleh berubah secara berasingan antara satu sama lain, mereka saling berkaitan. Selain itu, hubungan antara sudut dan nisbah aspek adalah satu ke satu. Malah, mengetahui nisbah aspek, anda boleh menentukan nilai-nilai sudut oleh teorem kosinus. Dan mengetahui sudut, anda boleh mencari nisbah aspek oleh teorem sinus. Oleh itu, untuk menyelesaikan masalah itu, cukup untuk mencari dua persamaan di sisi atau sudut.


Petua 2

b), c) Idea asas adalah seperti berikut. Agar jubin menjadi "sukar", salinan jubin yang sama yang termasuk dalamnya mestilah bersentuhan dengan satu sama lain dalam banyak cara yang mungkin. Kemudian setiap kaedah tersebut akan memberikan beberapa persamaan untuk sudut dan sisi, dan lebih banyak persamaan – kebebasan yang lebih rendah.

Terdapat beberapa cara untuk cuba membina jubin seperti itu, salinan yang boleh digunakan antara satu sama lain dengan cara yang berbeza. Salah satunya adalah untuk mengenakan beberapa batasan ciri pada jubin. Sebagai contoh, cari ia di dalam kelas poligon dengan sisi selari. Atau di antara jubin, yang sebelahnya sama. Ia juga boleh menjadi idea yang baik untuk mempertimbangkan sudut-sudut yang membahagikan 360 ° dan kelipatan daripadanya.

Cara lain yang mungkin adalah cuba menggunakan tilam yang sudah diketahui, sebagai contoh, seperti dalam rajah. 3. Kemudian anda perlu mencuba jubin baru dari beberapa jubin atau kepingan ubin yang dimasukkan ke dalam paving asli. Dan kemudian sahaja dari salinan jubin yang dihasilkan untuk meletakkan paving "keras", dalam kontur yang paving asal akan ditebak.

Rajah. 3


Penyelesaian

a) Tunjukkan sisi dan sudut jubin segi tiga seperti yang ditunjukkan di sebelah kiri dalam Rajah. 4. Kemudian pertimbangan segmen yang dibentuk oleh sisi empat segi tiga (di tengah-tengah dalam Rajah 4) membolehkan kita memperoleh nisbah ke sisi: a + c = 2b. Dan melihat bahagian atas, di mana tiga segitiga berkumpul (di sebelah kanan dalam Rajah 4), kita memahami bahawa 2 γ = 180 °. Oleh itu, γ = 90 °, iaitu segitiga adalah segiempat tepat. Oleh itu, ia memenuhi teorem Pythagorean: \ (a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. \)

Rajah. 4

Sekarang, untuk mencari hubungan yang dikehendaki, pengiraan yang agak mudah:

\ [(a + c) ^ 2 = 4b ^ 2 = 4 (c-a) (c + a). \]

Dari sini kita dapat

\ quad \ quad \ dfrac % % = \ \ dfrac % %. \]

Oleh itu, sudut segitiga adalah sama \ (\ alpha = \ arcsin \ dfrac % % = \ arcsin \ dfrac % %, \) \ (\ beta = \ arcsin \ dfrac % % \ arcsin \ dfrac % %, \) \ (\ gamma = 90 ^ {\ circ}. \)

b) Pertimbangkan trapezoid segi empat tepat yang terdiri daripada segi empat tepat dan segi tiga tepat, sama dengan separuh daripada segiempat ini (Rajah 5, kiri). Salinan trapezoid ini boleh dilampirkan satu sama lain dalam pelbagai cara.Memandangkan kami mahu paving yang terhasil menjadi "keras", untuk permulaan, kita perlu membuat konfigurasi seperti dari jubin trapezoid yang ditentukan yang akan menentukan hubungan sampingan dan sudut trapezium secara unik. Ini mudah dicapai. Misalnya, menyusun angka empat jubin yang ditunjukkan dalam rajah. 5, kita akan mencapai kesamaan γ = δ = 90 °, dan telah membuat salib dari lapan jubin, kita memperoleh syarat α = 45 °. Jika dari tiga jubin untuk mengumpul angka yang ditunjukkan dalam Rajah. 5 di sebelah kanan, maka kesamaan 2a = b.

Rajah. 5

Jelasnya, jika segi empat memenuhi empat persamaan di atas, maka ia pasti mewakili trapezoid segi empat tepat kami. Oleh itu, apa-apa jubin di mana semua konfigurasi yang dinyatakan di atas pasti akan menjadi "keras" dalam erti kata bahawa, mengikut skim yang sama, adalah mustahil untuk melipat jubin dari mana-mana segiempat lagi. Terdapat banyak tilam yang sama; contohnya, seperti ubin yang ditunjukkan dalam rajah. 6

Rajah. 6

Ambil perhatian bahawa walaupun jubin dalam Rajah. 6 mengikut takrifan kita "keras", ia mudah tertakluk kepada ubah bentuk: anda bebas boleh memindahkan jubin,terletak di baris sama mendatar atau menegak di sepanjang garis lurus yang sepadan. Ini boleh dielakkan dengan menambahkannya dengan cara lain. Sebagai contoh, seperti yang ditunjukkan dalam Rajah. 7

Rajah. 7

c) Di tengah-tengah tilam yang ditunjukkan dalam Rajah. 6 dan ara. 7, anda boleh meneka parket standard segiempat (Rajah 3, kanan). Kami akan menunjukkan bagaimana dengan cara yang sama seseorang boleh mendapatkan "gambar keras" pentagon tanpa konvensional, menggunakan ubat dengan segi tiga tetap sebagai asas (Rajah 3, kiri). Untuk melakukan ini, ambil satu jubin yang terdiri daripada dua segitiga tetap dan dua bahagian segitiga tersebut (Rajah 8, kiri).

Rajah. 8

Seperti pada perenggan yang terdahulu, kami mula-mula menyatakan empat konfigurasi yang menentukan jubin yang kita sedang mempertimbangkan secara unik. Ia ditunjukkan dalam Rajah. 8. Yang pertama menetapkan sudut ε = 90 °. Yang kedua membolehkan anda menulis hubungan 3 γ + 2ε = 360 °, dan kerana sudut ε telah ditetapkan, kita mendapatkan γ = 60 °. Begitu juga, konfigurasi ketiga memberikan kesamaan α + γ + 3ε = 360 °, dari mana α = 30 °. Akhirnya, konfigurasi yang terakhir membolehkan kita memahami bahawa β + 2γ = 360 °, iaitu, β = 240 °. Adapun sudut δ, ditentukan berdasarkan fakta bahawa jumlah sudut pentagon adalah 540 °, dan δ = 120 °.

Rajah. 9

Ternyata hanya konfigurasi yang ditunjukkan di tengah dalam rajah. 8, cukup untuk kesaksamaan b = e = a = d. Oleh itu, empat konfigurasi di atas benar-benar menentukan jubin pentagonal secara unik. Oleh itu, ia tetap memberikan contoh jubin yang merangkumi semua. Apabila membinanya, idea membina jalur membantu: pertama, dengan salinan jubin kami, kami menghasilkan jalur tak terhingga yang boleh digunakan untuk dirinya sendiri (rajah 9). Dan kemudian kita menutup seluruh pesawat dengan jalur seperti itu (Rajah 10). Kami perhatikan penggunaan luas idea untuk mereka bentuk jalur: struktur "bergaris" yang sama mempunyai kedua-dua tilting, yang kami bina ketika menyelesaikan titik b)dan, secara umum, apa-apa paving berkala, sebenarnya, terdiri daripada band. Walau bagaimanapun, kes ini tidak terhad kepada tilam berkala (seperti yang boleh diperhatikan, contohnya, dalam masalah Polamimina Parqueta).

Rajah. 10

Dalam contoh kami, jubin tidak cembung, tetapi ini bukanlah satu prasyarat untuk menghasilkan "paving keras". Pertimbangkan jubin pentagonal yang ditunjukkan di rajah. 11 – ia terdiri daripada segi dua dan dua segi tiga dengan sudut 22.5 ° yang lebih kecil.Ternyata, salinan jubin seperti itu juga boleh dijadikan jubin dengan pesawat "cara yang sukar", seperti yang ditunjukkan di sebelah kanan dalam Rajah. 11. Benar, ini agak sukar untuk dibuktikan daripada "ketegaran" tilam yang kami hadapi sebelumnya. Walau bagaimanapun, marilah kita menggariskan perkara utama bukti ini.

Rajah. 11

Pertama sekali, dari skema yang mengikutinya jubin disusun, jelaslah bahawa pihaknya memenuhi hubungan a = e = b dan c = b + d. Bagi sudut, empat persamaan boleh dikumpulkan ke atasnya, dari mana ia jelas bahawa α = γ, δ = ε, β + δ = 180 ° dan β + 180 ° = 2 γ. Oleh itu, dengan memasukkan sudut φ = δ / 2, kita dapat menyatakan sudut-sudut lain melalui:

\ [\ alpha = 180 ^ {\ circ} – \ varphi, \ quad \ beta = 180 ^ {\ circ} -2 \ varphi, \ quad \ gamma = 180 ^ {\ circ} – \ varphi, \ quad \ delta = 2 \ varphi, \ quad \ varepsilon = 2 \ varphi. \]

Kini idea utama adalah seperti berikut. Untuk jubin itu menjadi "sukar", ia perlu bahawa dia tidak mempunyai tahap kebebasan. Saat ini, jubin kami mempunyai dua parameter yang dapat kita ubah: sudut φ dan nisbah aspek a dan d. Walau bagaimanapun, perubahan ini tidak boleh sewenang-wenang, kerana parameter itu saling berkaitan. Jika selepas menganalisis sifat sambungan ini, kita menunjukkan bahawa hanya beberapa sudut kemungkinan sudut dan aspek yang mungkin direalisasikan untuk skim ini, maka ia akan segera mengikuti bahawa jubin yang dikehendaki adalah "keras".

Kami memperkenalkan notasi seperti yang ditunjukkan di kiri bawah dalam Rajah. 11. Kerana CDEF – trapezium sama sisi, kemudian asas

\ (CF = a-2a \ cos2 \ varphi = a (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) \).

Oleh itu, kita dapat mencari nisbah segmen a dan dmenyatakan segmen Bf oleh teorem kosinus dalam segitiga ABF dan CBF:

\ [BF ^ 2 = d ^ 2 + d ^ 2-2d ^ 2 \ cos (180 ^ {\ circ} – \ varphi) = a ^ 2 + a ^ 2 (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) 2-2a ^ 2 (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) \ cos \ varphi. \]

Mengubah, kita dapat

\ [\ dfrac {d ^ 2} {a ^ 2} = 5-8 \ cos \ varphi-4 \ cos ^ 2 \ varphi + 8 \ cos ^ 3 \ varphi. \]

Sebaliknya, kita dapat mencari nisbah segmen a dan dmenyatakan segmen AC oleh teorem kosinus dalam segitiga ABC dan AFC:

\ [AC ^ 2 = a ^ 2 + d ^ 2-2ad \ cos (180 ^ {\ circ} -2 \ varphi) = \ = d ^ 2 + a ^ 2 (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi ) ^ 2-2ad (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) \ cos2 \ varphi. \]

Sekiranya \ (\ cos2 \ varphi \ ne0 \), iaitu, jika pentagon berbeza daripada kami, kami akan mencapai persamaan berikut:

\ {\ dfrac % % = \ dfrac {2 (\ cos ^ 2 \ varphi-1)} {2 \ cos ^ 2 \ varphi-1} = – \ dfrac {2 \ sin ^ 2 \ varphi} {\ cos2 \ varphi}. \]

Khususnya, dapat dilihat dari sini bahawa ini hanya mungkin dengan \ (\ cos2 \ varphi <0 \), dan

\ [5-8 \ cos \ varphi-4 \ cos ^ 2 \ varphi + 8 \ cos ^ 3 \ varphi = \ dfrac {4 (\ cos ^ 2 \ varphi-1) ^ 2} {(2 \ cos ^ \ varphi-1) ^ 2}. \]

Persamaan terakhir hanya boleh mempunyai bilangan penyelesaian yang terhad. Oleh itu, paving yang dimaksudkan adalah "keras."


Selepas perkataan

Semua tilam yang dibincangkan di atas sebagai sebahagian daripada tugas ini, pada asasnya menggunakan satu jubin poligonal tunggal. Kami menyalin jubin ini dan kemudian menutup seluruh pesawat dengan salinan tanpa celah dan lapisan. Tapak itu dipanggil monohedraldan poligon asasnya ialah protoplitka. Seperti yang telah kita lihat, walaupun terdapat larangan untuk menggunakan jubin jenis yang berlainan, imej yang dihasilkan sangat pelbagai. Dalam banyak kes, tilam dengan protoplite ini berubah menjadi tak terhingga banyak, lebih-lebih lagi – nombor tak terhitung mereka. Pada masa yang sama, untuk protoplices lain (seperti, katakan, untuk segi enam biasa), jubin adalah unik, dan beberapa protoplite tidak membenarkan ubin sama sekali.

Adalah semulajadi untuk bertanya bagaimana, dengan bentuk poligon yang diberikan, untuk memahami sama ada ia mungkin untuk menjilat pesawat dengan salinannya. Walau bagaimanapun, algoritma yang akan membolehkan menjawab soalan ini, setelah menerima jubin di pintu masuk, dan pada output yang memberikan hasil "ya" atau "tidak", tidak diketahui oleh manusia. Selain itu, terdapat sebab-sebab yang serius untuk meragui bahawa ia wujud pada prinsipnya. Kami akan membincangkan secara ringkas apa yang mungkin mengganggu perkara ini. Untuk ini, ia akan berguna sekurang-kurangnya untuk mengenali sekumpulan simetri tilting.

Simetri Pelapik ini dipanggil pergerakan pesawat, yang menerangkan jubin ini kepada dirinya sendiri. Secara kasar, jika anda melihat kecondongan untuk masa yang lama, kemudian berpaling,tetapi seseorang di belakang anda memindahkan semua jubin supaya, pertama, jarak antara jubin dipelihara, dan kedua, anda berpusing dan anda tidak dapat mencari perbezaan – ini adalah simetri. Sekiranya di antara set semua simetri ubin ada dua terjemahan selari yang tidak diarahkan, maka jubin ini dipanggil berkala. Sebagai contoh, tilting di ara. 6, 7, 10 dan 11, dan sememangnya semua perkara yang telah kita bincangkan sejauh ini. Walau bagaimanapun, dalam semua contoh ini, mudah untuk menyusun semula jubin agar harta ini tidak lagi sah.

Jejak berkala dicirikan oleh kehadiran apa yang dipanggil kawasan asas – sebilangan besar jubin yang semua paving dapat diperoleh dengan pemindahan selari subset ini (ini hanya "band" kami yang disebutkan dalam keputusan itu). Oleh itu, cuba menjawab persoalan apakah mungkin untuk membuka seluruh pesawat dengan salinan protoplika ini, agak wajar untuk bertindak sebagai berikut. Ia perlu melalui semua pilihan yang mungkin, bergabung dengan jubin antara satu sama lain, dan, jika pada suatu ketika suatu kawasan asas timbul, maka terdapat jubin.Dan jika kita menyenaraikan semua pilihan, tetapi kita tidak menemui kawasan asas, maka jubin proto ini tidak membenarkan jubin.

Walau bagaimanapun, kaedah carian ini mempunyai kelemahan yang signifikan. Tiba-tiba protoplica kami ternyata aperiodic, iaitu, adalah mungkin untuk membuka seluruh kapal terbang dengan salinannya, tetapi semua tilam ini tidak berkala? Kemudian semua cara untuk bergabung dengan jubin bersama-sama kami tidak akan pernah melalui, kerana mereka boleh menutup sekeping saiz sewenang-wenangnya. Tetapi kita tidak akan dapat mencari kawasan asas sama ada, kerana tidak ada padanan berkala. Jadi kita akan melalui pilihan ke infiniti dan tidak pernah berhenti.

Sama ada protoplit aperiodik, ia tidak diketahui dengan pasti – menyiarkan fakta ini hipotesis bersambung belum terbukti. Oleh itu, masih ada kebarangkalian bahawa algoritma di atas membolehkan kita menjawab soalan sama ada ia mungkin untuk membina paving berdasarkan protoplite ini atau tidak. Walau bagaimanapun, dalam ruang tiga dimensi, hipotesis yang sama diselesaikan secara positif, dan juga pada kapal Lobachevsky. Di samping itu, ia membebankan kita untuk meningkatkan bilangan protoplikan yang digunakan kepada dua, kerana kita segera menemui satu contoh set aperiodik – molekul Penrose yang terkenal (Rajah 12).

Rajah. 12 Mosaik penrose.Imej dari ru.wikipedia.org

Jika tidak ada kepastian sama ada ia sentiasa mungkin untuk difahami dari jubin yang diberikan, sama ada ia mengakui pembukaan pesawat atau tidak, anda harus cuba untuk mempertimbangkan kes yang kurang umum dan mengenakan sekatan ke atas protoplika. Pertama sekali, kita mengandaikan bahawa semua poligon yang membentuk jubin adalah cembung. Keadaan ini ternyata agak kuat: ternyata bahawa bilangan sisi jubin proto cembung yang mengakui paving tidak melebihi 6. Walau bagaimanapun, di sini juga terdapat kesukaran yang serius.

Rajah. 13

Adalah mudah untuk memastikan bahawa seluruh satah boleh dilindungi dengan salinan mana-mana segitiga, serta dengan salinan mana-mana quadrangle – di sini walaupun keadaan convexity tidak diperlukan (Rajah 13). Walau bagaimanapun, dengan pentagon semuanya tidak begitu mudah. Kajian kaji monohedral oleh pentagons mempunyai sejarah yang kaya, dan bahkan sekarang tidak ada kepastian lengkap bahawa tugas ini telah menemui kesimpulan logiknya. Rupa-rupanya, Carl Reinhard adalah yang pertama untuk mengklasifikasikan pada tahun 1918, menonjolkan lima jenis cembung pentagonal cembung (Gambar 14). Setiap jenis dicirikan oleh satu set syarat tertentu pada sisi dan sudut, yang meninggalkan kebebasan tertentu – semua tilam ini "tidak tegar".Setengah abad kemudian, pada tahun 1968, Richard Kirchner memberitahu dunia mengenai pembukaan tiga lagi jenis tilings, dengan alasan bahawa lapan jenis, dan semua habis. Tetapi dia adalah salah: pada tahun 1975, Richard James, baca artikel yang mempopularkan sains terkenal Martin Gardner, mendapati jenis lain. Tetapi kejayaan sebenar dalam tempoh dua tahun akan datang telah membuat Baca artikel yang sama suri rumah Marjorie Rice – dia dapat mengesan sebanyak empat jenis baru monoedralnyh tilings pentagon cembung.

Rajah. 14 15 monoedralnyh tilings pentagon kapal terbang. Lukisan daripada laman forbes.com

cerita ini, bagaimanapun, tidak akhir jubin yang keempat belas mendapati Rolf Stein pada tahun 1985 – berbeza dengan semua sebelum ia telah "sukar". Dan selepas tiga puluh tahun, sekumpulan penyelidik sebagai sebahagian daripada Casey Mann, Jennifer MacLeod dan David von Dure, menggunakan pengiraan komputer, mendapati jubin kelima belas, juga tahap kebebasan tidak mempunyai. Akhirnya, Michael Rao mengemukakan bukti bahawa tilings pentagon lain di sana pada tahun 2017. Walau bagaimanapun, untuk membuktikan Rao menggunakan program komputer yang ditulis khas yang menyebabkan keraguan tertentu dalam komuniti saintifik, walaupun ia secara bebas semula dan disahkan.

Satu lagi pendekatan untuk klasifikasi tilam monohedral adalah berdasarkan fakta bahawa kita memberi tumpuan kepada sifat jubin berkenaan dengan kumpulan simetri. Sekiranya untuk mana-mana dua jubin di dalam trotoar, terdapat simetri yang mengambil jubin pertama kepada yang kedua, maka paving tersebut dipanggil isohedral. Secara umumnya, kita mengatakan bahawa cerucuk itu k-isohedraljika set jubinnya patah k kelas di bawah tindakan kumpulan simetri. Sebagai contoh, tilting di ara. 13 adalah isohedral, kerana setiap jubin boleh diubah menjadi mana-mana yang lain sama ada dengan pemindahan selari (jubin tersebut dicat dalam satu warna) atau oleh putaran (jubin tersebut dicat dalam warna yang berbeza). Dan membuka padi. 11 sudah 2 isohedral: jubin yang dicat kuning boleh berubah menjadi satu sama lain supaya jubin itu menggabungkan diri, sama seperti jubin biru boleh diterjemahkan ke dalam satu sama lain, tetapi jubin biru tidak boleh diterjemahkan menjadi kuning. Lain-lain tilapan yang kita lihat dalam penyelesaian juga k-isohedral berbeza k. Untuk melihat ini, kami menggambar semula mereka supaya jubin dapat diterjemahkan ke dalam satu sama lain oleh simetri jubin kemudian dan hanya jikaapabila mereka dicat dalam satu warna (seperti dengan membuka keadaan, yang, seperti yang kita faham sekarang, adalah 3-isohedral). Setelah melakukan ini, kita melihat bahawa untuk salah seorang daripada mereka k = 8 (gambar 15, kiri), untuk yang kedua k = 16 (Rajah 15, kanan), dan yang ketiga k = 10 (Rajah 15, di bawah).

Rajah. 15

Pautan Isohedral dengan poligon cembung boleh diklasifikasikan. Jadi, semuanya boleh didapati:

  • 14 isohedral membuka jubin segi tiga,
  • 56 jubin isohedral dengan jubin segiempat cembung,
  • 24 jubin isohedral dengan jubin pentagonal cembung,
  • 13 jubin isohedral dengan jubin heksagon cembung.

Pada dasarnya, mereka "tidak tegar" (seperti dalam jubin yang digambarkan dalam Rajah 13). Tetapi sesetengah daripada mereka semasa ubah bentuk berhenti menjadi isohedral. Misalnya, seperti itu, ubin pada rajah. 16: kita boleh mengalihkan jalur mendatar relatif kepada satu sama lain, tetapi selepas itu segi tiga dengan pangkalan mendatar tidak boleh ditukar menjadi segi tiga dengan pangkalan yang mirip dengan simetri.

Rajah. 16

Untuk mengklasifikasikan k– tilam isohedral dengan k > 1 juga mungkin. Walau bagaimanapun, dan juga untuk tiub dengan jubin bukan cembung, ini lebih rumit, dan sudah pasti kesilapan 2-iso menjadi sukar untuk dilihat kerana banyak pilihan cawangan. Dan mengenai nilai-nilai besar k kita tidak akan bercakap.


Like this post? Please share to your friends:
Tinggalkan Balasan

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: