Caustics di pesawat dan ruang angkasa

Caustics di pesawat dan ruang angkasa

Andrey Nikolaevich Andreev,
Alexey Andreevich Panov
"Kvant" № 3, 2010

Caustics adalah permukaan optik dan lengkung optik yang timbul daripada refleksi dan pembiasan cahaya. Caustics boleh digambarkan sebagai garis atau permukaan di mana sinaran cahaya tertumpu.

Caustics on the plane (caudics 2D)

Rajah. 1. Kaustik apabila dicerminkan dari kalangan. Imej: "Quant" "border = 0>Rajah. 1. Kaustik apabila dicerminkan dari kalangan. Imej: "Quant"

Mula-mula, mari kita lihat apa yang berlaku apabila semua sinaran cahaya dan lengkung dari mana ia dicerminkan terletak pada pesawat yang sama. Contoh yang paling penting ialah pantulan sinar selari dari bulatan. Kaustik yang timbul di sini adalah garis terang dengan tip yang terletak di antara bahagian atas dan tengah cermin (Rajah 1).

Rajah. 2 Di sebelah kiri 14 sinar berjalan di cermin, di sebelah kanan – 102 rasuk, dan titik persilangan mata mereka ditandakan. Imej: "Quant"

Jika kita berhadapan dengan parabola, maka semua sinar selari dengan paksi, selepas refleksi, dikumpulkan pada satu titik – fokus parabola. Untuk bulatan dan untuk cermin lain, ini bukanlah kes, sinaran yang tercermin tidak berkumpul pada satu titik. Tetapi apabila pancaran sempit sinar selari jatuh pada cermin, maka selepas refleksi ia menjadi konvergen.Dalam erti kata lain, rasuk yang dipantulkan tidak sepenuhnya menumpukan pada satu titik, tetapi rasuk sempit yang terdiri daripada sinar rapat akan berkumpul. Titik di mana mereka berkumpul adalah titik kepekatan tenaga, dan kaustik terdiri daripada mereka. Pertimbangan-pertimbangan ini akan membolehkan kita menarik kaustik.

Mari melancarkan sejumlah besar sinar selari pada cermin bulat. Bahagikannya kepada pasangan dan tandakan titik persilangan sinar pada setiap pasangan selepas refleksi (Rajah 2). Sekiranya bilangan sinaran bertambah, maka jarak antara titik persilangan berpasangan akan berkurangan. Titik-titik akan terletak lebih rapat antara satu sama lain dan dalam batas akan mengisi lengkung kaustik.

Rajah. 3 Setiap sinar yang tercermin menyentuh caustik. Imej: "Quant"

Ini adalah salah satu cara untuk memahami bagaimana kaustik dibuat. Satu lagi cara untuk melihat caustics adalah untuk menarik banyak sinaran. Dalam corak kaustik yang diperolehi itu, ia kelihatan sebagai lengkung yang semua sentuhan sinar bercahaya (Rajah 3). Ia adalah satu lagi manifestasi kepekatan cahaya yang sama – setiap sinar cahaya menyentuh kaustik, yang bermaksud ia bergerak sepanjang sebahagian besar jalannya dan "memberi" kepada kebanyakan tenaganya.Garis yang menyentuh setiap baris keluarga baris tertentu adalah sampul keluarga ini. Jadi kaustik adalah sampul sinar cahaya. Ia boleh dikatakan bahawa kaustik adalah teras di mana semua sinar cahaya terikat.

Bagaimana anda boleh membuat gambar sebelumnya?

Selesaikan cermin ke bulatan lengkap (Rajah 4). Kemudian dari sudut pandangan bahawa "sudut kejadian sama dengan sudut refleksi", ia mengikuti bahawa chords AB dan BA ' , yang dipotong oleh insiden itu dan sinaran yang mencerminkan sama dengan satu sama lain. Oleh itu, menggunakan kompas, lukis bulatan dengan pusat di titik B dan jejari AB dan tandakan persimpangannya dengan titik cermin A 'dan kemudian pada pemerintah untuk memegang rasuk yang dipantulkan BA '. Jika komputer digunakan untuk melukis, maka anda perlu tahu bahawa rasuk cahaya melintang (sejajar dengan paksi x) merenung pada titik bulatan unit (cos φ, sin φ) dengan koordinat sudut φ diarahkan di sepanjang vektor (-cos 2φ, -sin 2φ ). Ini membolehkan anda untuk menarik semua sinaran yang dicerminkan. Dan jika kita masih mahu mendapatkan dari bulatan ke kaustik, maka jarak untuk pergi ke vektor ini adalah (cos φ) / 2. Oleh itu, mata yang terletak pada kaustik akan mempunyai koordinat

Ini adalah lengkung yang terkenal (ia digambarkan oleh titik tetap bulatan rolling di luar sepanjang bulatan dua kali lebih besar), ia mempunyai nama sendiri – nephroid.

Rajah. 4 Chord AB dan BA ' sama, rasuk yang ditunjukkan diarahkan di sepanjang vektor (-cos φ, sin 2φ). Imej: "Quant"

Caustics in space (caustics 3D)

Semuanya lebih rumit dan lebih menarik dalam ruang tiga dimensi. Terdapat setiap rasuk yang dicerminkan terdapat dua titik konsentrasi tenaga. Dalam pengertian ini, boleh dikatakan bahawa permukaan kaustik dalam ruang terdiri daripada dua helai.

Sebagai contoh, ambil permukaan reflektif borang

z = x2 + 2y2

dan menyalakannya dari atas dengan rasuk yang berjalan sejajar dengan paksi z. Jika kita mengurung diri kita ke pesawat y = 0, maka kita mempunyai refleksi dari parabola z = x2 dan dalam pesawat x = 0 refleksi berasal dari parabola z = 2y2 . Ini adalah parabola yang berbeza, dan sinar daripadanya akan memberi tumpuan pada ketinggian yang berbeza, pada titik paksi yang berlainan z. Salah satu titik akan terletak pada satu lembar permukaan kaustik, yang lain di sisi lain.

Rajah. 5 Refleksi dari tingkap plastik. Imej: "Quant"Rajah. 6 Oleh kerana kejatuhan tekanan, kaca mengalir ke dalam. Imej: "Quant"

Dalam tahun-tahun kebelakangan ini, gambar-gambar bintang tetragonal yang terang telah muncul di Internet di Internet (Rajah 5).Inilah hasil pantulan cahaya matahari dari tingkap plastik yang terletak di seberang rumah. Dalam tingkap plastik, jurang di antara panel adalah dimeteraikan, dan udara sebahagiannya dipam keluar dari situ. Oleh kerana kejatuhan tekanan, cermin mata telah berubah bentuk di dalam unit kaca dan mengambil bentuk yang ditunjukkan dalam Rajah 6 (imej itu diregangkan di sepanjang paksi tegak). Permukaan sedemikian boleh dianggarkan dengan baik oleh graf fungsi.

memetik pemalar yang sesuai k dan m.

Rajah. 7 Imej di skrin – dinding rumah – dengan jarak yang kecil (a) dan dengan jarak yang lebih besar (b). Imej: "Quant"

Sekiranya permukaan yang terhad – "tetingkap" – diterangi oleh rasuk yang jatuh selari dengan sinar dan skrin diletakkan pada jalan sinar yang dipantulkan, maka pada jarak dekat dari tingkap kita akan melihat gambar pada skrin, serpihan utama yang merupakan bintang oktagonal (Rajah 7,a). Dengan jarak yang lebih besar dari skrin, kita akan melihat di atasnya satu bintang empat lintang melawan latar belakang bujur yang kurang cerah (Rajah 7,b), yang sepadan dengan foto sebenar. Empat absen berbanding corak rasuk kiri dipotong dari bintang kerana fakta itubahawa kita menganggap refleksi hanya dari sekeping permukaan yang terhad – dari tingkap persegi.

Rajah. 8 Dua jenis permukaan kaustik. Imej: "Quant"

Sekarang kita akan menarik permukaan kaustik itu sendiri, sepadan dengan gambar optik ini. Ia sebenarnya terdiri daripada dua helai. Dalam Rajah 8, warna menghilangkan mata kaustik dari permukaan yang mencerminkan: titik biru lebih dekat kepadanya, yang berwarna merah lebih jauh dari itu. Bahagian silang salah satu helaian caustik adalah bintang oktagonal, bahagian silang yang lain adalah sempadan bujur yang mengelilingi bintang.

Rajah. 9 Caustics timbul daripada pembiasan cahaya, unsur terang – bintang berbentuk segi empat. Imej: "Quant"Rajah. 10 Kering pada permukaan air, meniru gelembung atau meniskus. Imej: "Quant"

Caustics boleh dibentuk bukan hanya dengan refleksi, tetapi juga oleh pembiasan cahaya, katakan pada permukaan air. Dalam gambar-gambar yang diterbitkan dalam Rajah 9, sinar matahari dibiaskan sama ada pada gelembung udara atau pada meniskus akibat ketegangan permukaan pada jarum yang direndam di dalam air. Dan di sana sini di bahagian bawah kita melihat bintang kecil empat.

Marilah kita model fenomena ini dengan menyatakan permukaan refracting (Gamb.10) dengan persamaan

Rajah. 11 Imej di skrin berada di bahagian bawah kapal. Imej: "Quant"

Betulkan pemalar k dan sudut kejadian sinar matahari α dan ingat bahawa untuk air indeks biasan n = 1.33. Menggunakan hukum pembiasan sin α = nsin β adalah mungkin untuk mengira arah sinaran refracted – sudut β – dan, oleh itu, membina gambar yang membentuk sinaran pada skrin yang terletak di bawah permukaan air – di bahagian bawah kapal. Bintang tetragonal asimetri yang sama (Rajah 11) jelas kelihatan seperti dalam gambar (lihat Rajah 9).

Rajah. 12 Permukaan kaustik dibentuk oleh pembiasan dalam gelembung udara. Imej: "Quant"

Dan di sini adalah permukaan kaustik yang sepadan untuk pancaran refruks (Rajah 12). Titik biru terletak lebih dekat ke permukaan air, yang berwarna merah jauh lebih jauh daripadanya. Bahagian silang permukaan dalaman adalah bintang berbentuk segi empat, dan bahagian luar adalah sempadan bujur yang mengandungi bintang ini.

Sebagai kesimpulan, cadangan kami untuk bacaan selanjutnya.

1. Sifat optik parabola dan lengkung lain boleh didapati dalam buku oleh A. G. Dorfman "Optik bahagian kerucut" (Kuliah popular mengenai matematik, isu 31. – M.: Fizmatlit, 1950).

2. Bagaimana untuk menulis persamaan sampul surat itu boleh didapati dalam buku B.G. Boltyansky "Sampul surat" (Kuliah popular mengenai matematik, isu 36. – M .: Fizmatlit, 1961).

3. Akhirnya, anda boleh membaca tentang ciri-ciri lengkung dan kaustik peranti di dalam buku V. I. Arnold "Teori Bencana" (M: Sains, 1990).


Like this post? Please share to your friends:
Tinggalkan Balasan

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: