Carousel kuadrat • Nikolay Avilov • Tugas sains popular mengenai "Unsur" • Matematik

Carousel kuasa dua

Tugas

Rajah. 1.

A 3 × 3 persegi terdiri daripada 1 x 1 chip persegi yang berjumlah 1 hingga 9. Cip pada mulanya berbaring seperti yang ditunjukkan dalam Rajah. 1 kiri. Sebarang empat keping yang membentuk persegi 2 × 2 boleh diputar di sekitar pusatnya dalam bulatan. Adakah mungkin dengan beberapa giliran sedemikian untuk mendapatkan lokasi di mana kerepek:
a) bernombor "ular" (Rajah 1, kanan);
b) membentuk persegi sihir 3 × 3?


Petunjuk

Dalam kedua-dua perenggan, jawapannya adalah "dapat". Fikirkan urutan lilitan, yang mana, contohnya, menukar cip dengan nombor 2 dan 6, supaya cip yang tersisa berakhir di tempat mereka. Adakah mungkin untuk menukar mana-mana dua cip dengan cara yang sama?


Penyelesaian

Rajah. 2

Dalam ara. 2 huruf A, B, C dan D menunjukkan pusat giliran mungkin. Empat cip ini boleh diputar di sekitar titik-titik ini (sebagai contoh, anda boleh memutarkan cip 2 × 2 persegi itu, yang pusatnya adalah titik ini) di sekitar titik A. Ternyata mudah ditandakan dengan darjah: A, A2 dan A3 – ia bertukar arah mengikut arah jam di titik A pada sudut 90 °, 180 ° dan 270 °, masing-masing (arah bertukar – mengikut arah jam – dipilih untuk ketidaktentuan).

Anda boleh membina persegi, cip yang bernombor "ular", dengan mengikuti urutan tujuh putaran ini: ABCB2C3AB2. Dalam ara.3 langkah demi langkah menunjukkan apa yang berlaku dengan cip.

Rajah. 3

Anda boleh membina alun ajaib dalam enam pusingan. A3D3C2A2BA3 (Rajah 4).

Rajah. 4


Selepas perkataan

Masalahnya diselesaikan, tetapi ada perasaan tidak puas hati yang mudah, kerana tidak jelas bagaimana mencari penyelesaian dan mengapa sebenarnya giliran itu membawa kepada susunan cip yang tepat. Penyelesaian ini, dengan cara itu, adalah yang paling singkat, dan mereka dijumpai menggunakan carian komputer. Program ini, atas permintaan pengarang, ditulis oleh juara Rusia pada tahun 2018 untuk menyelesaikan teka-teki KT Shamsutdinov.

Bagaimana untuk mencari penyelesaian kepada masalah ini dengan hanya menggunakan "pensil dan kertas"? Mari lihat!

Kami akan memanggil 2×2 kuasa dua cip kecil. Terdapat empat daripada mereka dalam 3×3 persegi – di sudut-sudut persegi ini. Dua dataran kecil boleh berpotongan sama ada satu cip atau dua. Kedua-dua keadaan ini ditunjukkan dalam Rajah. 5

Rajah. 5

Adakah mungkin dalam setiap kes ini, berputar dataran kecil di sekitar pusat mereka, untuk menukar hanya dua cip, dan meninggalkan selebihnya di tempat mereka? Ternyata kedua-dua kes ini dikaji dengan baik.

Dalam majalah itu "Matematik Sekolah" (# 10 untuk 2009) adalah tugas seterusnya (dalam kata-kata yang sedikit berbeza). Teka-teki "6" adalah segi tiga 3 × 2 yang dilipat dari 1 × 1 cip persegi. Cip dipetik dalam setiap baris dari kiri ke kanan dengan nombor dari 1 hingga 6. Cip setiap 2 × 2 persegi boleh diputar di sekitar pusatnya dengan berganda 90 °. Bolehkah dengan beberapa giliran sedemikian untuk mendapatkan susunan di mana cip 2 dan 5 akan menukar tempat (Rajah 6)? Adalah mudah untuk melihat bahawa ini adalah konfigurasi kiri dari ara. 5

Rajah. 6

Penulis tugas ini (I. Akulich, K. Kaibkhanov, S. Tokarev) menunjukkan bahawa ini tidak mungkin dilakukan. Artikel berasingan telah menumpukan kepada penyelesaiannya dalam salah satu isu jurnal berikut (walaupun biasanya penyelesaian masalah yang dicadangkan agak kompak). Artikel tidak mudah dibaca, segalanya serius: lima halaman, enam lemmas, tetapi hasilnya menarik.

Rajah. 7

Ternyata tugas ini adalah kes khusus masalah umum berikut. Nombor 1, 2, 3, …, mn ditulis dalam sel-sel segi empat m × n, di mana 2 ≤ m ≤ n. Di dalam segi empat sama, ia dibenarkan memilih mana-mana 2 × 2 persegi dan menyusun semula nombor dalam bulatan (Rajah 7). Untuk apa nilai m dan n bolehkah nombor-nombor di dalam jadual diperintahkan?

Jawapan lengkap untuk soalan ini diberikan oleh I. Akulich. Masalahnya boleh diselesaikan jika dan hanya jika m + n ≥ 6.Untuk segi empat itu, dia mendapati algoritma pelbagai laluan yang membenarkan pesanan nombor jadual. Untuk segi empat tepat 2 × 3, masalahnya tidak dapat diselesaikan. Dalam kajian kes ini digunakan komputer. Ternyata 6 yang sedia ada! = 720 permutasi daripada enam nombor boleh dibahagikan kepada enam kumpulan sebanyak 120 permutasi di setiap satu, lebih-lebih lagi, dalam setiap permutasi kumpulan dipindahkan satu sama lain dengan menjadikan kotak kecil, dan permutasi dari kumpulan yang berbeza satu sama lain tidak diterjemahkan. Permutations (123456) dan (153426) tergolong dalam kumpulan yang berlainan, jadi jawapan kepada persoalan masalah adalah negatif. Inilah yang ditunjukkan oleh K. Kaibkhanov dalam artikelnya menggunakan kombinasi linear dua invarian.

Satu lagi versi tugas yang tidak dijangka. Ternyata itu dilaksanakan di kiub Rubik, jika anda hanya berputar dua lapis kiub: frontal dan kanan. Dalam ara. 8 kios bergerak adalah putih. Connoisseurs of the Rubik's Cube, tahu bahawa dia mempunyai keadaan yang mustahil: misalnya, adalah mustahil untuk menukar hanya dua dadu sudut (sehingga sisanya akan berakhir di tempat mereka). Dan ini betul-betul tugas enam petak.

Rajah. 8

Sekarang kita berpaling ke sebelah kanan ara. 5Jurnal Kvant (No. 6 untuk 2009) mencadangkan tugas sedemikian. Daripada chips segi empat yang bernombor 1 × 1, terdapat angka dilipat yang mengandungi dua kotak 2 × 2, dan nombor cip 4 adalah sama (Rajah 9, di sebelah kiri). Cip setiap 2 × 2 persegi boleh diputar di sekitar pusatnya dengan sudut 90 °. Adakah mungkin dengan giliran sedemikian untuk mendapatkan lokasi yang ditunjukkan dalam Rajah. 9 betul?

Rajah. 9

Tidak seperti kes pertama, di sini cip 1 dan 2 boleh ditukar. Kami menunjukkan bagaimana untuk melakukannya. Perhatikan bahawa jika anda tidak memberi perhatian untuk memindahkan cip yang lain, maka cip 1 dan 2 boleh dengan mudah ditukar. Untuk melakukan ini, anda perlu melakukan sejumlah 4 2 × 2 putaran persegi dalam urutan berikut: kiri mengikut arah jam dengan 90 °, kanan lawan jam dengan 90 °, kiri dengan lawan jam demi 90 °, dan kanan – hingga 180 °. Dalam ara. 10 menunjukkan pergerakan cip semasa putaran ini.

Rajah. 10

Dengan membandingkan susunan awal dan akhir cip, mari kita lihat pergerakan setiap cip dibuat.

Rajah. 11

Jika anak panah menunjukkan pergeseran setiap helai, dan tandakan titik dengan titik-titik, yang lagi di tempatnya, maka kita akan mendapatkan litar dengan ara. 11. Cip 1 dan 2 bertukar, cip 3 dan 6 kekal di tempat, cip 4, 5 dan 7 berputar di sekitar kitaran.Ini bermakna jika anda mengulangi siri empat putaran tiga kali, maka cip 4, 5 dan 7 sekali lagi akan jatuh ke tempat, dan cip 1 dan 2 akan bertukar tempat.

Mari kita kembali ke tugas kita. Dalam ara. 12 warna biru menyoroti serpihan 3 x 3 persegi, yang sepadan dengan konfigurasi sebelah kanan Rajah. 5. Menggunakan giliran di sekeliling mata A dan D, kita menulis urutan giliran yang dijumpai di atas g = (AD3A3D2)3 untuk serpihan ini. Hasil daripada urutan itu g untuk 12 pusingan, hanya cip 2 dan 6 akan menukar tempat.

Rajah. 12

Untuk membina persegi di mana cip diberi nombor "ular", sudah cukup untuk menukar cip 4 dan 6. Pertama, anda perlu membuat giliran persediaan A2mengambil cip 4 ke tempat cip 2, kemudian gunakan siri giliran gyang menukar cip 4 dan 6, kemudian dengan berpaling A2 kembalikan baki cip (kecuali 6) ke tempat mereka (Rajah 13).

Rajah. 13

Untuk membina kuadrat sihir, pertama, dengan tiga putaran, terjemahkan 4 ke sudut kanan atas, dan terjemahkan 6 ke sudut kiri bawah, misalnya: A2BC2. Lakukan lagi giliran A2mengambil cip 5 ke pusat persegi.

Rajah. 14

Apa yang berlaku ditunjukkan dalam rajah.14 kanan: cip putih sudah ada, dan di bahagian yang diserlahkan dengan warna biru, kita juga mesti memulihkan pesanan. Tetapi ternyata bahawa menggunakan urutan giliran g dan giliran tambahan, di bahagian ini anda boleh menukar mana-mana dua cip. Contohnya, kita tunjukkan bagaimana cara menukar cip a dan b (Rajah 15). Untuk melakukan ini, mula-mula menterjemahkan cip itu a di tengah-tengah bahagian atas dataran, cip itu b – di tengah-tengah sebelah kanan alun-alun. Mempunyai perkiraan yang mana anda boleh memohon urutan g giliran dan cip swap a dan b, selepas berputar balik C3 dan a3 (dalam susunan itu) mengembalikan cip yang tersisa kepada keadaan asalnya.

Rajah. 15


Like this post? Please share to your friends:
Tinggalkan Balasan

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: