Segitiga batu bata • Konstantin Knoop • Tugas sains popular di "Elemen" • Matematik

Batu segi tiga

Tugas

Di tapak pembinaan meletakkan tumpukan bata merah, kuning dan kelabu. Pasukan pasukan pembinaan memerintahkan pekerjanya meletakkan dinding segitiga daripada mereka mengikut peraturan berikut: mengambil 10 batu bata sewenang-wenang dari timbunan untuk baris bawah, kemudian meletakkan bata warna yang sama pada bata seterusnya warna yang sama, dan bata warna yang sama pada bata berwarna-warni (contoh piramid tersebut ditunjukkan dalam gambar ).

Akibatnya, hanya satu bata muncul di barisan atas. Seorang ahli matematik-brigadier, melihat batu-bata dari barisan bawah, sentiasa cepat dan tepat meneka apa warna bata atas akan. Sebagai Adakah dia melakukannya?


Petua 1

Mengetahui baris bawah, anda boleh melukis gambar semua baris batu ini (dan menjadikannya lebih cepat daripada pembina mempunyai masa untuk meletakkannya). Mari tandakan kaedah ini sebagai tidak sesuai untuk matematik (dan tidak cukup pantas).


Petua 2

Adalah jelas bahawa warna tertentu tidak penting. Daripada warna, anda boleh menggunakan nombor, misalnya, 0, 1 dan 2. Bagaimana pula akan "peraturan untuk menambah" bata baru ditulis? Adalah jelas bahawa sepasang nombor yang sama sepadan dengan yang sama: (0, 0) → 0; (1, 1) → 1; (2, 2) → 2. Param nombor yang berbeza sepadan dengan yang ketiga: (0, 1) → 2, dan sebagainya.Semua surat-menyurat ini boleh ditulis dalam satu tablet:

012
0021
1210
2102

Adakah mungkin untuk menetapkan nilai-nilai yang diberikan dalam jadual ini, bukan jadual, tetapi entah bagaimana berbeza? Anda boleh cuba. Sebagai contoh, unit dalam jadual sepadan dengan pasangan (0, 2), (1, 1) dan (2, 0) – mereka dengan jumlah nombor yang sama dengan 2. Dan dua? Mereka sepadan dengan pasangan (0, 1), (1, 0) dan (2, 2) – kepada mereka yang jumlahnya sama ada 1 atau 4. Akhirnya, nol sepadan dengan pasangan (0, 0), (1, 2) (2, 1) – kepada mereka yang jumlahnya sama dengan 0 atau 3. Ini "atau" membingungkan sedikit: jika tidak, contohnya, jika kita mengetahui dengan jelas bahawa jumlah 3 bersamaan dengan 0, jumlah 1 bersamaan dengan 2, dan jumlah 2 bersamaan dengan 1, maka kita akan menulis satu formula surat-menyurat: nombor itu3 = 3 − (nombor itu1 + nombor itu2). Kerana sama ada peraturan akan menjadi lebih sukar: jika hasilnya nombor itu3 tidak akan seperti yang sepatutnya, maka anda mungkin perlu menambah 3 atau mengambilnya 3. Tetapi ini tidak begitu ketara. Perkara utama ialah dalam semua kes warna bata ditentukan oleh jumlah warna batu bata yang berdiri di bawahnya. Fikirkan bagaimana brigadier boleh menggunakannya.


Penyelesaian

Daripada formula "nombor itu3 = 3 – (nombor itu1 + nombor itu2) ", dipaparkan dalam Petua 2, kami akan menggunakan yang lebih mudah:"nombor itu3 = – (nombor itu1 + nombor itu2) ".Lagipun, masih perlu untuk menambah 3 atau -3 hasilnya, jadi tidak mengapa jika kami tidak melakukan penambahan / pengurangan tiga kali ini, tetapi "lepaskan untuk kemudian".

Katakan bahawa di bahagian bawah (10) baris terdapat batu bata yang sepadan dengan 10 nombor: a, b, c, d, e, f, g, h, i, j. Formula kami membolehkan anda segera menulis keseluruhan siri (9):

(baris 9) – (a + b), -(b + c), -(c + d), -(d + e), -(e + f), -(f + g), -(g + h), -(h + i), -(i + j).

Tetapi barisan lapan juga ditulis: di atas angka – (a + b) dan – (b + c) mesti ditulis nombor – (-abbc) = a + 2b + c. Oleh itu, kelebihan berganda dikurangkan, dan baris kelapan ialah:

(baris 8) a + 2b + c, b + 2c + d, c + 2d + e, d + 2e + f, e + 2f + g, f + 2g + h, g + 2h + i, h + 2i + j.

Kami menganggap lebih lanjut. Nombor baris ketujuh mempunyai bentuk – ((a + 2b + c + b + 2c + d) = -(a + 3b + 3c + d). Di sini, mungkin, sudah tiba masanya untuk kita ingat bahawa kita bersetuju untuk menangguhkan semua penambahan dan penolakan triple "untuk kemudian", dan melakukan perkara yang sama dengan istilah 3b dan 3c, berganda 3. Oleh itu, kita boleh menganggap bahawa nombor pertama baris ketujuh adalah sama dengan – (a + d). Kemudian siri keseluruhan boleh ditulis dengan cara yang sama:

(baris 7) – (a + d), -(b + e), -(c + f), -(d + g), -(e + h), -(f + i), -(g + j).

Seterusnya kita mempunyai baris 6, di mana minus dua kali dikurangkan lagi:

(baris 6) a + b + d + e, b + c + e + f, c + d + f + g, d + e + g + h, e + f + h + i, f + g + i + j.

Dalam beberapa 5 minus muncul sekali lagi (ikut ahli pertama, dan semuanya semuanya adalah sama):

(baris 5) – (a + 2b + c + d + 2e + f), -(b + 2c + d + e + 2f + g), -(c + 2d + e + f + 2g + h), -(d + 2e + f + g + 2h + i), -(e + 2f + g + h + 2i + j).

Dalam baris 4, kedua-dua minus dan sekumpulan istilah dikurangkan, di mana pekali 3 ternyata: bukan a + 3b + 3c + 2d + 3e + 3f + g kami hanya akan pergi a + 2d + g:

(baris 4) a + 2d + g, b + 2e + h, c + 2f + i, d + 2g + j.

Bata, dan dengan mereka, dan pengkomputeran, semakin kurang:

(baris 3) – (a + b + 2d + 2e + g + h), -(b + c + 2e + 2f + h + i), -(c + d + 2f + 2g + i + j);

(baris 2) a + 2b + c + 2d + 4e + 2f + g + 2h + i, b + 2c + d + 2e + 4f + 2g + h + 2i + j.

Dan akhirnya, bata di baris atas:

(baris 1) – (a + 3b + 3c + 3d + 6e + 6f + 3g + 3h + 3i + j) = -(a + j).

Apa hasilnya? Bahawa warna bata atas ditentukan oleh jumlah hanya dua warna dari baris bawah – iaitu, warna-warna dua batu bata yang melampau. Selain itu, ia ditentukan oleh peraturan yang sama, mengikut mana pembina meletakkan setiap bata seterusnya: dua warna yang sama sesuai, dan dua yang lain sepadan dengan baki. Sudah tentu, ahli matematik-ahli matematik melakukan semua pengiraan dan penyederhanaan ini (sehingga keputusan selesai) terlebih dahulu, sehingga pada saat membina segitiga batu bata, dia segera melihat hanya pada bata yang melampau di baris bawah.


Selepas perkataan

Saya secara khusus cuba menguruskan penyelesaian algebra yang paling primitif untuk mengekalkan rasa "fokus-menggigit" dalam pembaca. Walau bagaimanapun, kini sudah tiba masanya untuk memahami intipati fokus ini sedikit lebih mendalam.

Pertama, dalam erti kata lain, anda boleh melupakan kontra: seperti yang kita lihat,garis dengan minuses dan tanpa mereka hanya ganti, supaya kita dapat memahami dari awal bahawa akan ada tolak dalam baris teratas.

Kedua, singkatan triples yang digunakan oleh kami (kali pertama kita melakukannya pada baris kelapan), walaupun ia mengurangkan pengiraan, ia mengaburkan intipati. Jika kita tidak melakukan ini, kita akan melihat ungkapan bentuk dalam baris ketujuh a + 4b + 6c + 4d + edalam seterusnya – a + 5b + 10c + 10d + 5e + fdan sebagainya. Huruf-huruf dalam jumlah ini pergi mengikut abjad, tetapi apakah urutan nombor 1, 4, 6, 4, 1, kemudian 1, 5, 10, 10, 5, 1, kemudian 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1? Sesiapa yang kurang berpengetahuan dalam matematik akan mengenali dalam urutan ini Segitiga Pascal:

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1

Dalam segitiga ini, setiap nombor adalah sama dengan jumlah dua nombor yang berdiri satu baris lebih tinggi: secara langsung di atasnya dan bersebelahan dengannya (kiri). Sebenarnya, kemunculan segitiga Pascal di sini tidak boleh mengejutkan kita; sebagai contoh, nombor 15 adalah pekali untuk c dari segi a + 6b + 15c + 20d + … ialah jumlah dua koefisien pada dengan: satu diambil dari ungkapan a + 5b + 10c + 10d + 5e + fdan yang lain dari ungkapan b + 5c + 10d + 10e + 5f + g. Dalam erti kata lain, ini adalah jumlah pekali ketiga (10) dan kedua (5) dari baris sebelumnya.

Oleh itu, kita boleh sampai ke barisan yang kita perlukan. Koefisien di dalamnya – 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1.Dan kerana semua pekali, kecuali untuk dua unit ekstrem, dibahagikan dengan 3, ini memberikan hasil yang dikehendaki dari "fokus".

Kini anda boleh cuba mengambil langkah semula jadi dan bertanya soalan: yang mana nilai-nilai panjang baris bawah batu bata (N) akan kerja helah yang sama? Kami mendapati apa yang baik N = 10. Lain yang sesuai N = 4 (kita telah melihat bahawa baris 1 3 3 1 bersamaan dengan jumlah dua istilah ekstrem). Dan apakah nilai-nilai itu? Persamaan matematik bagi soalan ini ialah: di bawah keadaan apa N semua pekali (N – 1) – baris segitiga Pascal, kecuali yang terakhir, berganda 3? Persoalan ini jauh lebih sukar daripada masalah asal kita, tetapi jawapannya, bagaimanapun, dapat diperoleh dengan cara matematik yang agak asas: N – 1 mesti menjadi kuasa tiga. Dengan kata lain, berikut adalah sesuai untuk fokus. N sama dengan 28, kemudian 82, 244, 730, dan sebagainya. Untuk lebih lanjut mengenai ini, dan juga generalisasi masalah kepada beberapa warna, anda boleh membaca dalam bahasa Inggeris dalam artikel oleh Erhard Berends dan Steve Humble "The Secrets of the Triangle" PDF, 552 Kb), diterbitkan dalam jurnal kedua terbitan Perisik Matematik untuk 2013 (doi 10.1007 / s00283-012-9346-4).


Like this post? Please share to your friends:
Tinggalkan Balasan

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: