Apakah biasa antara itik dan pembawa pesawat? • Hayk Hakobyan • Tugas-tugas saintifik yang popular di "Elemen" • Fizik

Apakah biasa antara itik dan pembawa pesawat?

Dalam tugas Muzik ombak, musik angin, penyebaran gelombang di permukaan air dalam dibahas. Khususnya, ia diperoleh daripada pertimbangan dimensi bahawa gelombang \ (k \) dan kekerapan \ (\ omega \) gelombang sedemikian berkaitan dengan hubungan penyebaran \ (\ omega ^ 2 = gk, \) di mana \ (g \) adalah pecutan bebas kejatuhan. Konsep-fase fasa dan halaju gelombang kumpulan juga dibincangkan. Halaju fasa adalah \ (v _ {\ text %} = \ omega / k \), dan jika hubungan penyebaran yang diberikan di atas berfungsi, maka halaju kumpulan adalah 2 kali kurang daripada halaju fasa. Sebahagian daripada ini berguna sekarang.

Dalam masalah yang disebutkan di atas, ombak di permukaan air dihasilkan oleh pengaruh angin yang berterusan, dan keadaan paling mudah dipertimbangkan: ombak menyebarkan dalam garis lurus. Kali ini adalah kes yang lebih menarik.

Apabila sesuatu yang cukup besar untuk terapung di permukaan air pada kelajuan yang berterusan, masih terdapat di belakang "konak" (kerana segala-galanya berlaku di permukaan air, lebih tepat untuk bercakap mengenai sudut yang menyimpang dari gelombang) struktur gelombang, yang terbentang seterusnya. Ini dapat diperhatikan sama ada itik berenang perlahan-lahan ke atas kolam, dan ketika kapal terbang pesawat multi-ton memotong melalui lautan (Gambar 1). Huraian matematik tentang kesan ini pertama kali diberikan oleh Lord Kelvin pada abad ke-19 (W.Thomson, 1887. Pada Gelombang Kapal); mereka telah mula dipanggil Kelvin bangun, yang boleh diterjemahkan sebagai "gelombang bangun untuk Kelvin" Kelvin.

Rajah. 1. Gelombang killevate di permukaan air. Gambar dari laman web math.ubc.ca dan thatsmaths.com

Tugas

Menariknya, sudut di antara gelombang penyelewengan tidak bergantung pada apa-apa cara pada kelajuan objek, atau pada saiz atau apa-apa lagi (iaitu, tidak mengapa: itik atau pengangkut pesawat terapung). Sudut ini adalah pemalar sejagat yang boleh didapati daripada pertimbangan geometri semata-mata.

Tentukan nilai "gelombang konak" gelombang bangun.


Petua 1

Pertama, jelaskan mengapa sudut ini tidak bergantung kepada apa-apa. Fikirkan tentang apa yang akan berlaku jika anda hanya memegang tangan anda atau melekat di dalam air pada kelajuan yang tetap. Dan bagaimana jika anda mengambil dua kapal, satu daripadanya mempunyai hidung yang tajam, dan yang lain mempunyai hidung rata?

Adakah terdapat sebarang masalah dalam masalah ini? Jika tidak, maka mana yang harus diikuti? Jika ya, apakah yang panjang ini? Anda boleh bertanya soalan yang sama dengan berbeza: berapa lama gelombang yang dihasilkan oleh pergerakan tersebut?


Petua 2

Cuba berfikir secara geometri. Gambarkan bagaimana fasa depan terbentuk: iaitu, di mana lengkungnya adalah semua titik fasa. Selepas itu, ambil kesempatan daripada kenyataan bahawa paket gelombang itu sendiri menyebarkan dua kali lebih perlahan dalam arah serenjang ke hadapan fasa.


Penyelesaian

Mula-mula anda perlu sedar bahawa tidak ada parameter dimensi tunggal dalam tugas itu. Saiz kapal atau itik, sama ada sebuah kapal mempunyai hidung rata atau tajam, tidak bergantung kepada apa-apa. Sebenarnya, satu-satunya perkara yang menjejaskan geometri objek itu sendiri adalah beberapa pergolakan di suatu tempat yang sangat dekat dengan hidung, manakala pada jarak yang jauh dari objek gelombang tidak lagi "merasakan" sebarang saiz kapal.

Kelajuan kapal v, boleh menjadi nilai dimensi, jika tugas itu mempunyai beberapa ciri masa, dengan bantuan yang mana mungkin untuk mengubah kelajuan ke dalam jarak.

Ternyata kerana kita tidak mempunyai panjang yang dipilih, kapal itu sendiri (atau itik) dapat dianggap sebagai titik material. Akibatnya, tidak ada gelombang panjang tertentu: kapal itu pada dasarnya merangsang semua panjang gelombang (atau semua nombor gelombang \ (k \) dan frekuensi \ (\ omega \) pada masa yang sama. Hasil daripada superposisi gelombang sedemikian ditunjukkan dalam Rajah. 2

Rajah. 2 Hasil dari superposisi semua panjang gelombang yang teruja oleh kapal yang berlayar secara mendatar

Tetapi bagaimana keputusannya adalah bentuk "konak" dengan sudut yang tidak bergantung kepada parameter lain?

Pertama, adalah jelas bahawa kita hanya tertarik pada gelombang yang fasa fasanya kurang daripada v. Jika halaju fasa lebih besar v, tidak akan ada hadapan fasa, kita akan melihat ini sedikit kemudian.

Dalam ara. 3 menunjukkan bagaimana fasa depan terbentuk untuk salah satu gelombang yang dijana oleh kapal dengan halaju fasa \ (v _ {\ rm ф} = 0 {,} 8 v \). Semua mata di garis merah fasa depan mempunyai fasa yang sama. Untuk masa depan, anda perlu ingat bahawa kapal menghasilkan banyak gelombang dengan halaju fasa dari \ (v _ {\ rmf} \ approx 0 \) kepada \ (v _ {\ rmf} \ approx v \), tetapi kami akan mempertimbangkannya secara berasingan untuk kesederhanaan.

Rajah. 3 Pembentukan depan fasa untuk \ (v _ {\ rm f} = 0 {,} 8 v \)

Pada hakikatnya, tentu saja, kita tidak berminat di hadapan fasa, tetapi dalam kumpulan, kerana paket gelombang fizikal, tenaga dan maklumat tentang gelombang menyebarkan dengan halaju kumpulan. Untuk membina depan kumpulan, ingatlah bahawa paket gelombang bergerak pada kelajuan separuh saiz fasa (iaitu dalam contoh ini, ia adalah 0.4v), dalam arah tegak lurus ke hadapan fasa. Dalam ara. 4 menunjukkan bagaimana bahagian kumpulan sedemikian terbentuk dengan menggunakan garis tegak lurus ke hadapan fasa.

Rajah. 4 Pembentukan depan kumpulan

Seperti yang dinyatakan di atas, kapal itu mengujakan banyak gelombang dengan halaju fasa dari 0 ke v. Dalam ara. 5 menunjukkan bagaimana bidang tersebut terbentuk dalam kes semua gelombang ini. Walaupun hadapan fasa boleh mempunyai sebarang kecenderungan sudut yang dikehendaki berbanding dengan trajektori, bahagian depan tidak menyimpang lebih daripada nilai tertentu sudut walaupun pada kelajuan dekat v.

Rajah. 5 Fasa dan bahagian kumpulan untuk kelajuan gelombang yang berbeza

Dalam ara. 6 menunjukkan banyak gelombang yang sama dengan bulatan putus-putus, teruja pada suatu ketika dahulu (ketika kapal itu berada di titik ungu). Titik-titik ke lingkaran ini dari kedudukan semasa kapal (titik kuning) sesuai dengan garis fasa untuk setiap gelombang, dan pusat-pusat perpendiculars ke bahagian fasa sesuai dengan kedudukan paket gelombang. Seperti yang dapat dilihat dari angka, pusat ini membentuk bulatan (ini boleh dibuktikan secara matematik, cuba untuk melakukannya sendiri), tangen yang sepadan dengan sudut maksimum perbezaan gelombang, yang kita berminat.

Rajah. 6 Pengujaan gelombang dengan kelajuan fasa dari 0 hingga v (bulatan putus-putus), muka fasa yang sepadan (tangen kepada kalangan titik kuning di sebelah kanan), dan kedudukan paket gelombang bagi setiap kes. Ia dilihat bahawa terdapat sudut maksimum pesongan gelombang pesisir.

Setelah memahami sebab yang terdapat sudut maksimum kecenderungan paket gelombang, mari kita mencari nilainya. Nasib baik, dengan pengetahuan yang ada, ini adalah masalah geometri yang mudah. Jelasnya, bagi gelombang dengan \ (v _ {\ rmf} \ approx 0 \), paket fasa tidak boleh pergi jauh, jadi hujung kiri bulatan yang diingini (kedudukan paket gelombang, Rajah 7) melepasi kedudukan permulaan bebek atau kapal. Sebaliknya, untuk gelombang dengan \ (v _ {\ rmf} \ approx v \), paket gelombang mesti lulus kira-kira \ (vt / 2 \) dalam arah mendatar (sejak depan fasa akan menegak). Oleh itu, satu lingkaran dengan diameter \ (vt / 2 \) diperolehi, dan kini perlu mencari sudut tangen padanya, \ (\ theta \).

Rajah. 7 Posisi paket gelombang untuk semua gelombang yang teruja untuk beberapa waktu t belakang, membentuk bulatan dengan garis pusat vt/2

Oleh itu, ia mudah dilihat dari sifat tangen yang \ (\ sin {\ theta} = (vt / 4) / (3vt / 4) = 1/3 \), dan oleh itu \ (\ theta \ approx 19 {,} 47 ^ {\ bulat} \). Maksudnya, sudut "kerucut" (2 \ theta \ approx 38 {,} 9 ^ {\ circ} \).Ambil perhatian bahawa sesungguhnya kami menggunakan hanya dua fakta mudah apabila memperoleh nilai ini: (a) objek pada air merangsang spektrum keseluruhan gelombang dengan halaju fasa dari 0 ke v, (ba) paket gelombang menyebarkan pada separuh kelajuan fasa dalam arah yang berserenjang ke hadapan fasa. Dan bilangan yang terhasil tidak bergantung kepada bentuk atau saiz objek terapung, atau pada kelajuan pergerakannya.


Selepas perkataan

Seperti biasa, tempahan dalam "cetakan halus" dilampirkan kepada mana-mana teori fizikal yang cantik, yang sebenarnya tidak begitu mudah. Pada tahun 2013, karya fizik Perancis yang sangat menarik diterbitkan, di mana para penulis menganalisis imej satelit di peta Google, mengumpul statistik pada sudut penyelesaian gelombang bangun.

Dalam ara. 8. Dua contoh imej tersebut ditunjukkan. Pada mulanya, tongkang perdagangan yang besar meninggalkan jejak dengan sudut penyelesaian dekat dengan nilai yang diramalkan, \ (\ alpha \ approx 20 ^ {\ circ}}. Tembakan kedua menunjukkan bot laju kecil dengan sudut terbalik \ (\ alpha \ approx 9 ^ {\ circ} \). Analisis statistik sudut telah menunjukkan bahawa, sebagai tambahan kepada kes-kes apabila sudut hampir sama dengan nilai ramalan \ (19.47 ^ {\ circ} \), terdapat juga banyak kes di mana sudut larutan lebih kecil!

Rajah. 8 Contoh gelombang bangun yang terdapat dalam imejan satelit. Dalam kes pertama, sudut hampir dengan ramalan (\ (\ alpha \ approx 20 ^ {\ circ} \), dalam kes kedua ia lebih kecil (\ (\ alpha \ approx 9 ^ {\ circ} Frédéric Moisy, 2013. Kapal terjaga: Kelvin atau sudut Mach?

Pada asasnya, "pengecualian" ini sesuai dengan kapal kecil dan laju. Ternyata teori yang diterangkan di atas mempunyai beberapa batasan. Apa masalahnya?

Kunci penjelasan fenomena ini ialah parameter tak berdimensi, yang dikenali sebagai nombor Froude (nombor Froude):

\ [Fr = \ frac {U} {\ sqrt {g L}}, \]

di mana U dan L – kelajuan dan saiz kapal, dan g – pecutan graviti. Parameter ini menetapkan hubungan antara daya pemulihan (dalam kes ini, graviti) dan inersia kapal. Jika anda merancang sudut penyelesaian yang dikira untuk setiap trek bangun yang terdapat pada imej satelit bergantung kepada nombor Froude yang sepadan, anda akan mendapat pergantungan yang agak eksponen (titik merah dalam Rajah 9).

Rajah. 9 Sudut larutan trek bangun bergantung kepada nombor Froude untuk model teori (lengkung biru), statistik dari gambar satelit (titik merah) dan simulasi (titik kuning). Gambar dari artikel Marc Rabaud, Frédéric Moisy, 2013. Kapal terbakar: Kelvin atau Mach sudut?

Walaupun nombor Froude kurang dari 0.4-0.6, sudut sama dengan nilai yang diramalkan, untuk nilai-nilai besar parameter ini, trek bangun menjadi sempit. Nilai kecil nombor Froude sesuai dengan kelajuan kecil atau saiz kapal yang besar.

Contohnya, bagi kapal terbang kelas Nimitz dengan panjang 300 m, bergegas pada kelajuan maksimum (60 km / j), nombor Froude tidak akan melebihi 0.3, dan sudut penyelesaian gelombang bangun akan selalu menjadi \ (\ approx 20 ^ {\ circ} ). Dan bagi bot nelayan 20 m panjang, dengan kelajuan 30 km / j (yang separuh kelajuan maksimumnya), bilangan Froude mungkin lebih besar daripada 0.6, dan sudut trek kebuk akan lebih kecil. Untuk itik (panjang 20 cm, kelajuan 0.5 m / s), nombor Froude tidak melebihi nilai 0.3-0.4.

Jadi apa urusannya? Apa yang kita tidak ambil kira dalam keputusan itu, dan mengapa untuk nombor Froude yang lebih besar satu sudut penyelesaian yang lebih kecil diperoleh? Ternyata pada saiz kecil objek terapung (atau pada kelajuan tinggi) anggapan bahawa gelombang dengan semua kemungkinan panjang (atau semua wavenumber yang mungkin) tidak dipenuhi. Faktanya ialah panjang kapal L tidak dapat dengan berkesan merangsang gelombang lebih lama daripada L.

Untuk membentuk gambar yang indah dengan sudut yang berterusan, yang dibincangkan dalam penyelesaian, adalah perlu untuk merangsang gelombang dengan panjang sekurang-kurangnya sehingga \ (U ^ 2 / g \).Jika tidak, ternyata beberapa gelombang (ditunjukkan dalam Rajah 7) tidak dijana, dan sudut maksimum tidak tercapai. Oleh itu, apabila \ (L \ lesssim U ^ 2 / g \) (atau \ (Fr \ gtrsim 1 \)) sudut maksimum penyebaran paket gelombang kurang. Teori ini disahkan oleh simulasi (Rajah 10). Penulis artikel di atas memanggil kedua-dua rejim (dengan jumlah kecil dan sejumlah besar Froude) Kelvin dan Mach rezim, masing-masing.

Rajah. 10 Simulasi gangguan gelombang bangun untuk kes-kes dengan nombor yang berbeza dari nombor Froude. Gambar dari artikel Marc Rabaud, Frédéric Moisy, 2013. Kapal terbakar: Kelvin atau Mach sudut?

Jadi, apa yang dapat dipelajari dari seluruh cerita ini tentang masalah geometrik yang paling mudah. Pertama sekali, anda perlu ingat bahawa sebarang masalah fizikal diterangkan oleh satu set parameter tanpa dimensi. Sekiranya tidak ada parameter seperti itu (seperti dalam penyelesaian kita), maka hasil model tidak seharusnya bergantung kepada apa-apa. Parameter tak berdimensi – dalam kes ini, nombor Froude ini – sentiasa menetapkan beberapa hubungan antara dua fenomena fizikal, dan dengan itu menentukan had pemakaian model fizikal.

Dalam masalah gelombang graviti di permukaan air dalam, parameter ini adalah nisbah \ (\ lambda / h \), di mana \ (\ lambda \) adalah panjang gelombang dan h – kedalaman lautan.Jika nisbah ini agak kecil, pendekatan "mendalam" bekerja, di mana gelombang tidak merasakan kehadiran bahagian bawah.

Dalam masalah penambahan cakera nipis (Disk accretion dan Accretion contrary), parameter ini adalah nisbah ketebalan cakera pada radiusnya, yang membolehkan kita membina model cakera nipis. Dalam masalah jam lewat disebabkan oleh kesan GR (Let's verify clocks), dimensi potensi graviti \ (GM / r \) kepada \ (c ^ 2 \) (atau, setara dengan nisbah jejari graviti \ (2GM / c ^ 2 \) ke jarak ke objek r). Dalam kes SRT, parameter ini adalah nisbah kelajuan objek dengan kelajuan cahaya.

Ia mengingatkan bahawa parameter tak berdimensi (nombor Reynolds, nisbah daya Coriolis ke inersia perkara, dan sebagainya), menggambarkan "atmosfera" bintang neutron (yang disebut lapisan berat terikan yang dipanggil beberapa sentimeter di atas permukaannya), kira-kira bersamaan dengan parameter tanpa dimensi yang menerangkan suasana bumi kita. Dan ini walaupun terdapat persekitaran yang sama sekali berbeza, bahan lain, putaran, dimensi lain (saiz bintang neutron adalah ~ 10 km, dan saiz Bumi adalah lebih kurang 1000 kali lebih besar, dan sebagainya).Oleh kerana itu, sebagai contoh, perihalan dinamika vorteks di permukaan bintang neutron adalah sama dalam kerumitan sebagai perihalan gerakan taufan di permukaan Bumi.

Oleh itu, satu pelajaran penting ialah, untuk menyelesaikan sebarang masalah fizikal, tidak kira betapa rumitnya, anda harus terlebih dahulu menentukan parameter tak berdimensi yang relevan yang menentukan sempadan model anda. Dan kerana matematik "tidak tahu" mengenai kewujudan dimensi, apa-apa model matematik fenomena fizikal boleh dibina menggunakan hanya parameter tanpa dimensi dan kuantiti yang digunakan oleh ahli fizik.


Like this post? Please share to your friends:
Tinggalkan Balasan

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: