Apa yang Gelfand ketawa pada (Kisah pendek matematik untuk bukan ahli matematik)

Apa yang Gelfand ketawa? (Kisah pendek matematik untuk bukan ahli matematik)

E. Glagoleva, V. Ptushenko
"Kvant" №4, 2013

Israel Moiseevich Gelfand (1913-2009)

Pada 2 September 2013, Israel Moiseevich Gelfand, salah seorang ahli sains terbesar abad ke-20, akan berumur 100 tahun.

Dalam dunia saintifik, Gelfand lebih dikenali sebagai seorang ahli matematik yang telah meninggalkan tanda di hampir semua bidang matematik moden. Ahli biologi juga mengenali beliau (ia ingin tahu bahawa ketika karya biologi Gelfand muncul, beberapa pakar bertanya-tanya apakah ahli biologi ini ada hubungannya dengan ahli matematik terkenal Gelfand). Dan pedagang Gelfand hampir tidak diketahui.

Walau bagaimanapun, ini tidak menghairankan: dia tidak pernah menjadi guru teori, dia tidak mempunyai satu pun kerja dalam pedagogi. Nya yang sangat menarik dan, boleh dikatakan, pandangan pedagogis yang bijak direalisasikan dalam banyak tahun aktivitinya. Dan, tentu saja, di kalangan pelajarnya.

Tidak terlalu membesar, dapat dikatakan bahawa pelajar Gelfand adalah semua yang telah berkomunikasi dengannya. Sama ada ia disertai dengan perbualan yang lebih panjang atau panjang, atau perbualan tunggal, atau bahkan kehadiran mudah semasa perbualan – orang tentu akan mengalami pengaruhnya untuk beberapa darjah atau yang lain.

Dan dia adalah salah seorang yang mula-mula memulakan bulatan matematik untuk anak-anak sekolah di Moscow State University, beliau mengambil bahagian dalam pertandingan Olimpik Matematik Moscow pertama.

Tetapi sumbangan utama Gelfand kepada pedagogi sudah pasti Sekolah Matematik Koresponden (sekarang dikenali sebagai VZMSH), yang sepenuhnya adalah gagasannya dan yang dicipta dan dibuat secara literal dari awal.

Itu hampir 50 tahun lalu. Saya kebetulan bekerja dengan Israel Moiseevich. Saya adalah pekerja pertama "sepenuh masa" sekolah surat-menyurat, dan kali ini adalah salah satu yang paling sukar dan bahagia dalam hidup saya.

Artikel ini adalah tugas terakhir Israel Moiseevich. Dia kemudian tinggal di Amerika, dan perbualannya berada di pejabatnya di Rutgers University. Saya tidak pernah jumpa dia lagi. Sekolah surat-menyurat telah berkembang dan terus berfungsi, walaupun ia tidak wujud secara formal.

E. Glagoleva

Untuk masa yang panjang, ada legenda seperti: seolah-olah beberapa atasan datang di kedalaman sebuah sekolah, dan dalam pelajaran matematik guru menjelaskan penambahan pecahan kepada murid-murid. "Penghitung pecahan pertama, – kata guru, – mesti ditambah kepada pengangka yang kedua, dan penyebut pertama – dengan penyebut kedua."Selepas pelajaran, "tetamu yang tinggi" terkejut mendekati guru dan memberitahunya bagaimana untuk meletakkan pecahan dengan betul. Dan pelajaran seterusnya guru bermula dengan kata-kata: "Kami telah diperbetulkan di sini: arahan baru telah datang dari Pusat, dan sekarang kita perlu menambah pecahan secara berbeza."

Sekitar 15 tahun yang lalu, anekdot ini dikatakan seseorang semasa perbualan dengan beberapa ahli matematik, di antaranya adalah Israel Moiseevich Gelfand. Salah satu penulis artikel ini, yang hadir semasa perbualan, memberi respons kepada anekdot itu dengan suatu petikan yang tidak dijangka kepada para pengadil:

– Nah, mengapa, sebenarnya, adalah mustahil untuk menambah pecahan seperti itu? Mari kita memperkenalkan aturan penambahan pecahan sedemikian rupa sehingga kita akan menambahnya! Apa yang menghalang kita?

Satu bantahan segera diikuti:

– Tetapi undang-undang pengedaran tidak akan dilaksanakan!

– Nah, jika anda meninggalkan segala-galanya tidak berubah, maka tentu saja! Dan kami akan mengubah peraturan pendaraban pecahan supaya undang-undang pengedaran dipenuhi, seperti semua sifat tambahan dan pendaraban.

– Baiklah, cuba! – para pelukis terkejut. – Saya hairan bagaimana anda akan berjaya!

Sebagai tindak balas, formula muncul di papan tulis:

Di sini Gelfand ketawa:

– Hebat! – katanya. – Tuliskannya. Di sini kita menulis.

Mengapa Gelfand ketawa?

Hakikatnya, menurut peraturan pendaraban, Israel Moiseevich mempelajari nombor-nombor yang diketahui dalam matematik dan nombor yang banyak digunakan dalam bidang yang berbeza, hanya berpakaian dalam pakaian orang lain!

Oleh itu, kami mengaku "bermain menyamar" ini dan ambil perhatian bahawa rekod "a/b"dalam kes kita tidak bermaksud, sebilangan kecil, jika hanya kerana pecahan ditambah dan didarabkan mengikut peraturan yang berbeza, maka kita akan menggantikan" pakaian mewah "dengan sebutan lain, contohnya , dan bukannya "pecahan" nama yang dilarang secara haram, kami memberikan yang lain, sebagai contoh, "nombor-nombor pelik", atau sebentar "c-nombor".

Tetapi kenapa beberapa "pecahan" aneh boleh dianggap nombor? Dan di manakah undang-undang yang paling mendistribusikan ini, dan undang-undang lain berasal? Dan pada umumnya:

Apa yang kita panggil nombor?

Ringkasnya, nombor adalah sesuatu yang boleh ditambah dan didarab, dan pada masa yang sama beberapa peraturan dipenuhi – undang-undang tambahan dan pendaraban, iaitu:

a + b = b + a, a · b = b · a,

(a + b) + c = a + (b + c), (a · b) · c = a · (b · c),

a (b + c ) = ab + ac.

Keperluan ini dipenuhi untuk semua jenis nombor, bermula dengan nombor semula jadi dan berakhir dengan yang sebenar.

Tetapi mengapa sifat-sifat nombor ini begitu penting – khususnya, tepat seperti itudan bukan yang lain, undang-undang tambahan dan pendaraban? Sebagai contoh, kenapa jumlahnya tidak harus berubah apabila menukar tempat barang, dan hasil jumlah itu mestilah sama dengan jumlah kerja berpasangan? Dan di manakah peraturan ini datang?

Sentuh nombor dengan tangan anda

Apabila kita menyelesaikan masalah dengan bantuan matematik, kita menggunakan bukannya objek sebenar imej matematik mereka. Tetapi angka-angka (lebih tepatnya, nombor semula jadi) tidak dipisahkan untuk masa yang sangat lama dari mereka, jadi untuk bercakap, pembawa bahan: orang dianggap bukan perkataan, tetapi batu, knot, takik, dan akhirnya, jari.

Walau bagaimanapun, apabila nombor semula jadi sudah muncul, pengiraan praktikal sering tidak dibuat di atas kertas, tetapi, misalnya, pada abaka atau dalam versi Rusia – akaunnya. Dan angka itu boleh menyentuhnya, dan kesan undang-undang dapat dilihat secara langsung. Sesungguhnya, jika terdapat 100 epal dalam satu bakul dan 150 epal di dalam satu lagi, tidak perlu meletakkannya bersama-sama dan menceritakannya untuk mengetahui berapa banyak terdapatnya. Dan kerana bilangan epal tidak bergantung pada bakul yang anda mula menghitungnya, hasil penambahan nombor tidak bergantung pada urutan item.

Pada masa yang sama, tentu saja, tidak ada keperluan untuk perumusan undang-undang.

Tidak satu pun …

Kepelbagaian dengan fenomena baru alam, perkembangan aktiviti manusia menuntut imej matematik baru. Untuk menghitung barang-barang, hanya angka asli cukup; apabila berlainan dimensi bermula, pecahan muncul.

Di samping itu, nombor dari alat praktik manusia mudah menjadi subjek penyelidikan saintifik, dan menjadi jelas bahawa pembinaan sistem bilangan mesti mempunyai logik sendiri, konsistensi dalaman pelbagai sifat sistem ini, konsistensi bersama mereka. Ia tidak mungkin dalam praktiknya mungkin diperlukan bagi seseorang untuk mengetahui apa yang akan terjadi jika 2 dibahagikan dengan sifar. Tetapi di India pada abad ke-7 mereka berhujah mengenainya: beberapa ahli matematik percaya bahawa x : 0 = x, kerana "untuk membahagikan dengan sifar tidak ada apa-apa untuk dibahagikan, jadi apa yang tersisa" akan kekal! Cuba untuk membuktikan pernyataan ini tanpa memikirkan tentang penyambungan sifat berlainan bilangan, iaitu. teori nombor! Anda tentu saja mengatakan bahawa pembahagian oleh sifar tidak "tidak membahagikan apa-apa," tetapi "tidak membahagikan apa-apa," tetapi ia akan dianggap sebagai permainan atas perkataan yang tidak menjelaskan inti dari soalan.Dalam perkara tersebut, intuisi, berdasarkan amalan, pada pemerhatian langsung, dalam beberapa kes tidak mencukupi.

Ya, dan sering kali idea-idea intuitif kita bertentangan dengan undang-undang matematik. Dan sekarang ia berlaku bahawa orang-orang terkejut: "Bagaimana ini: kita melipatgandakan bilangan" dua puluh "satu saat dan kita mendapat sepuluh? Multiply bermakna untuk meningkatkan, tetapi ternyata kurang." Dan jawapan kepada soalan itu: "Apa lagi – lima peratus daripada tiga atau tiga peratus daripada lima?" ia jauh dari biasa walaupun kanak-kanak sekolah memasuki kelas matematik, dan jawapan ini adalah akibat langsung dari undang-undang commutative of multiplication.

Nombor negatif tidak mudah: walaupun ada tafsiran yang baik tentang nombor negatif sebagai "hutang", berbanding dengan yang positif, yang bermaksud "untung", masih angka negatif kelihatan kurang alami daripada pecahan. Apa separuh epal atau segelas air, semua orang dapat melihat atau bayangkan. Dan siapa yang pernah memegang tangannya "tolak tiga rubles"? Dan peraturan tindakan! "Apa yang ditambah plus memberi tambah betul, bahawa ditambah tolak akan menjadi tolak – boleh jadi, tetapi untuk memberikan tolak to plus tolak, itu berbohong!"1 Tidak menghairankan, kita masih sering melakukan tanpa angka negatif dalam kehidupan seharian, misalnya, "lapan darjah fros" bukan "minus 8 darjah" atau "Saya mempunyai 3 ribu rubel dalam hutang" dan bukannya "Saya mempunyai minus 3 ribu Rubles."

Dinamakan gruzdem – masuk ke dalam badan!

Oleh itu, sifat nombor dan tindakan terhadapnya sebahagiannya ditentukan oleh sifat objek atau proses fizikal yang dimaksudkan untuk diterangkan, dan sebahagiannya diperoleh dari keperluan untuk membina sistem yang konsisten dan konsisten secara dalaman. Konsistensi dan konsistensi dalaman sama seperti perlu bagi alat matematik sebagai konsistensi antara pergerakan semua bahagian mesin apa pun – tanpa itu, ia tidak akan berfungsi.

Konsistensi ini dipastikan oleh fakta bahawa semua peraturan untuk mengendalikan nombor dan literal, iaitu, algebraic, ekspresi mengikuti dari lima undang-undang yang kami sebutkan di atas. Dalam pengertian ini, mereka memainkan peranan yang sama dalam algebra sebagai aksioma geometri, dan, menuntut pemenuhan mereka untuk beberapa nombor baru, kita mendapat "jaminan" bahawa yang baru tidak akan merosakkan yang lama, bahawa semua nombor boleh diperlakukan mengikut peraturan yang sama .

Sebenarnya, kita hanya boleh memanggil nombor "nombor" baru apabila kita memastikan bahawa ia memenuhi semua keperluan yang sama dengan bilangan yang diketahui terdahulu. Peribahasa ini: "Walaupun anda memanggil periuk, hanya tidak meletakkannya di dalam ketuhar" tidak berlaku dalam matematik; di sini yang lain lebih sesuai: "Saya mempunyai nama untuk trak – masuk ke dalam badan!" Dalam matematik, jika sesuatu dipanggil periuk, maka ia boleh dimasukkan ke dalam ketuhar. Sekiranya sesuatu dipanggil "nombor" (atau "vektor" atau "fungsi", atau "alpha-beta-gamma-abracadabra"), maka pastikan bahawa dengan itu anda dapat melakukan semua tindakan dan ia akan mempunyai semua sifat ciri untuk jenis objek matematik yang diberikan.

Aneh, tetapi tetap – nombor

Oleh itu, tidak percaya dengan perkataan, sebelum memanggil pecahan aneh oleh nombor, walaupun aneh, seseorang harus memeriksa dengan teliti pelaksanaan semua lima undang-undang. Kami akan menyemak hanya dua daripada mereka, meninggalkan pembaca untuk memeriksa selebihnya sendiri.

1) Undang-undang pemindahan (commutativity) untuk penambahan: . Malah

Di sini, kesamaan purata adalah benar, kerana undang-undang komutatif adalah sah untuk menambah nombor nyata (kedua-duanya di atas dan di bawah tindakan garis dilakukan dengan nombor sebenar "biasa"), dan tanda-tanda yang sama ekstrim adalah benar berdasarkan takrif kami tentang operasi penambahan "nombor-nombor pelik".

2) Undang-undang pembahagian (distributivity): Malah:

Dalam rangkaian kesamaan ini, semua lima sifat tindakan dengan nombor sebenar digunakan. Apa yang kita dapat?

Zero dan yang

Oleh itu, keperluan rasmi dipenuhi: nombor-nombor c yang kita masukkan mematuhi undang-undang yang wajib bagi semua nombor.

Sekarang kita akan cuba "menghidupkan" nombor-nombor baru ini, lihat bagaimana mereka kelihatan seperti nombor nyata yang diketahui oleh kami, bagaimana mereka berbeza daripada mereka, bagaimana tindakan yang berbeza berlaku kepada mereka, sama ada tindakan terbalik sentiasa dilakukan, sama ada terdapat sifar dan satu dan t dd

By the way: apa yang sifar?

Cara paling mudah untuk mendapatkan sifar adalah dengan menolak:

zz = 0.

Ini adalah benar untuk mana-mana nombor. z. Dalam erti kata lain, dengan mana-mana z kesamaan adalah benar

z + 0 = z,

iaitu, sifar adalah nombor, dari mana ia ditambah kepada mana-mana nombor yang tidak berubah. Kesamaan ini boleh dianggap definisi nombor sifar.

Adalah mudah difahami bahawa di kalangan c-nombor angka sifar memainkan peranan . Sesungguhnya:

Sekarang cari unit ini. Satu unit adalah untuk pendaraban sama seperti sifar untuk penambahan, iaitu bilangan, dari pendaraban yang mana tidak ada nombor yang berubah: jika untuk mana-mana nombor itu boleh dipanggil unit di kalangan nombor c.Ia mudah untuk menunjukkan bahawa x = 1, y = 0, iaitu bilangan memainkan peranan unit untuk nombor c .

Sebenar dan pelik: meregangkan tali pengikat

Sekarang mari kita lihat bagaimana set c-nombor berkaitan dengan set "biasa", iaitu nombor sebenar? Kami menggunakan hakikat bahawa mana-nombor c boleh dibahagikan kepada dua istilah (mengikut peraturan penambahan c-nombor):

Pertimbangkan istilah pertama. Ternyata bilangannya berkelakuan seperti nombor nyata yang paling biasa: jumlah dan hasil dari bilangan tersebut akan menjadi angka jenis yang samasejak itu

pada masa yang sama, kedua-dua penambahan dan pendaraban (dan operasi bertentangan dengan mereka) berlaku mengikut peraturan "biasa" (seperti dalam bilangan sebenar "biasa", kecuali sifar yang diberikan kepada akhir setiap nombor di bawah garisan). Dan, yang sangat penting, kedua-dua sifar dan elemen unit c-nombor juga akan menjadi antara nombor-nombor ini iaitu, "sifar" dan "satu" s-nombor dan nombor nyata adalah perkara biasa! Oleh itu, kita adalah "nombor" dalam bentuk kita boleh dengan mudah menunjukkan semata-mata a. Kemudian nombor itu akan dibentangkan sebagai jumlah .

Kami kini mempertimbangkan istilah kedua, iaitu bilangan borang . Adalah mudah untuk melihat bahawa penambahan bilangan tersebut memberikan beberapa jenis yang sama:

Ternyata c-nombor ditambah (dan ditolak) "oleh istilah": istilah sebenar adalah dengan yang sebenar, dan yang aneh adalah dengan yang aneh. Sememangnya: selepas semua, kami mahu pengangka dan penyebut untuk menambah apabila menambahkan "pecahan".

Pendaraban lebih sukar, anda perlu mempertimbangkan situasi yang berbeza.

Pertama, mari kita lihat bagaimana bilangan borang didarab dengan nombor sebenar. Untuk melakukan ini, dalam formula yang menetapkan peraturan pendaraban untuk c-nombor, letakkan a = 0 dan d = 0. Dapatkan

iaitu, dengan mendarabkan c-nombor dengan "pengangka" sifar oleh yang sebenar, kita mendapat c-nombor. Kemudian mana-mana c-nombor boleh diwakili sebagai produk nombor nyata b dengan nombor :

.

Ternyata nombor itu , boleh dikatakan, menghasilkan semua nombor, sama seperti satu unit menjana semua yang sebenar. Oleh itu, kami memanggil (buat sementara) nombor ini "c-unit" dan menandakannya sebagai berikut: 1c.

Sekarang setiap s-nombor boleh ditulis sebagai

Di sini a dan b – nombor nyata, "+" – tanda penambahan, b·1c – produk nombor sebenar b c-unit, iaitu nombor c .

Bentuk ini sangat mudah untuk c-nombor: dalam bentuk ini, mereka boleh diakses mengikut semua peraturan algebra, kerana kita telah mengesahkan bahawa semua undang-undang diperhatikan, dan peraturan algebra mengikuti dari undang-undang ini.Oleh itu, kita kini boleh membiak dua nombor c yang ditulis dalam bentuk ini, mengikut kaedah pendaraban polinomial.

Hasil yang tidak dijangka

Untuk menyelesaikan dengan pendaraban c-nombor, ia tetap untuk memeriksa apa yang diperoleh dengan mendarabkan dua c-nombor borang . Kerana, seperti yang kita baru tunjukkan, setiap nombor boleh diwakili sebagai produk nombor nyata dan c-unit, maka ia cukup untuk memeriksa apa yang persegi unit-c sama dengan, i.e. (1c)2 . Ambil nombor dan berganda dengan sendirinya:

Di sini anda boleh berteriak: pengawal! Square s-nombor ternyata sah negatif dengan nombor! Inilah yang benar-benar baru dan (seperti yang akan kita lihat tidak lama lagi) harta yang sangat penting bagi c-nombor (di antara bilangan sebenar, seperti yang kita ingat, tidak ada yang seperti ini dijumpai).

Jadi . Menggantikan kesamaan berikut (1c)2 pada -1, kita dapat

(a + b · 1c) · (c + d · 1c) = ac + iklan · 1c + bc · 1c + bd · (1c)2 = ac – bd + (iklan + bc) · 1c.

Sekiranya formula ini ditulis dalam notasi lama, di mana istilah sebenar berada dalam "pengangka", dan yang pelik berada dalam "penyebut", iaitu ganti a + b · 1c pada , c + d · 1c pada dan ac – bd + (iklan + bc) · 1c pada maka kita akan mendapat peraturan pendaraban yang dicadangkan dalam temu bual dengan Gelfand:

Keluarkan topeng

Sekarang ia akan menjadi jelas mengapa Gelfand tidak ditipu oleh penyamaran kami.Kami akan bebas dari itu dan kami akan kembali dengan c-nombor pakaian mereka sendiri – nama dan nama yang digunakan dalam matematik.

Malah, c-unit tidak dipanggil unit "pelik", tetapi khayalan dan ditunjukkan oleh surat itu i (dari perkataan imaginarius – khayalan). Oleh itu, nombor aneh kita bi dipanggil khayalandan bilangan borang a + bidi mana i = -1 dipanggil kompleks oleh nombor.

Sudah jelas bahawa set nombor kompleks mengandungi semua nombor sebenar (jika b = 0) dan semua nombor khayalan (jika a = 0).2

Di manakah nombor kompleks berasal?

Jadi nombor-nombor baru ini mengandungi nombor yang perseginya negatif: i2 = -1. Ini adalah angka yang baru, tidak ada angka yang sedemikian di antara yang sebenar.

Sudah jelas bahawa "dari pengalaman" bilangan tersebut tidak dapat timbul – bagaimanapun, walaupun angka negatif tidak begitu mudah dilihat oleh ahli matematik, kerana sukar untuk membayangkan objek "negatif" dunia nyata. Dan nombor kompleks adalah sesuatu yang lebih "eksotik", yang menjadikannya lebih sukar untuk mencari perlawanan di dunia "sebenar".

Sudah tentu, inilah keperluan "intra-matematik". Khususnya, dengan perkembangan matematik, insentif baru untuk pengenalan nombor-nombor baru muncul: kebolehlaksanaan operasi songsang.Oleh itu, pengenalan nombor negatif dan sifar menyediakan kemungkinan pengurangan, dan pengenalan pecahan – pembahagian. (Benar, terdapat batasan yang ketara untuk pembahagian: pembahagian oleh sifar tidak mungkin. Tetapi sekatan ini hanya menekankan bahawa anda tidak boleh melakukan apa-apa dalam matematik: yang baru tidak harus bertentangan dengan segala yang pernah dilakukan dan terbukti.) Dengan memperkenalkan nombor kompleks, tindakan terbalik kepada eksponensi.

Tetapi bilangan yang kompleks muncul dalam matematik untuk alasan yang sama sekali berbeza. Ia adalah pada abad XVI. Di antara ahli matematik pada masa itu, pelbagai pertandingan diedarkan, pertandingan (kadang-kadang orang awam, seperti matboi moden) untuk menyelesaikan masalah yang sukar. Salah satu tugas ini adalah mencari rumusan umum untuk menyelesaikan persamaan kubik. Ahli matematik Itali Cardano (dia juga seorang doktor dan jurutera: driveshaft adalah tugasnya) dalam menyelesaikan masalah ini dihadapi dengan fakta yang luar biasa. Satu pendekatan untuk menyelesaikan persamaan kubik adalah untuk mengurangkan persamaan padu kepada persamaan kuadratik dengan cara penggantian, kaedah penyelesaian yang sudah diketahui, dan kemudian melalui akar persegi yang diperolehi untuk menyatakan akar kiub yang dicari.Dalam hal ini, maka, tentu saja, ia dianggap bahawa persamaan kuadrat dengan diskriminasi negatif tidak mempunyai akar. Nampaknya secara semulajadi bahawa jika persamaan kuadratik tambahan tidak mempunyai akar, maka persamaan padu sama juga tidak mempunyainya.

Tetapi secara tidak disangka ternyata bahawa dalam kes apabila diskriminasi persamaan bantu adalah negatif (iaitu, nilai negatif bermaksud akar kuadrat), persamaan kubik asli bukan sahaja mempunyai akar atau dua, tetapi mempunyai tiga akar sah yang berbeza! Untuk mengira akar-akar ini, adalah perlu untuk beroperasi dengan akar persegi nombor negatif. Dan di sini Kar-dan membuat langkah yang berani: dia menandakan akar yang "tidak dapat disembuhkan" -1 huruf i.

Keadaan ini boleh disamakan dengan jalan berliku. Kita boleh melompat dari satu gelung ke satu lagi; pada masa yang sama, turun dari jalan raya, kami akan kembali lagi. Titik-titik ruang di sekitar rentetan jalan yang melalui padang atau hutan tidak berkesudahan mungkin tidak menarik minat pengembara di jalan sendiri, mungkin tidak dapat diatasi tanpa kenderaan khas, mungkin kelihatan "tidak benar" dan tidak perlu (kerana mereka tidak mempunyai tonggak, mereka tidak membantu bergerak dari bandar ke bandar).Tetapi jika masih mungkin untuk meneruskannya, maka mereka boleh dengan ketara "memotong" jalan.

Walau bagaimanapun, perkara-perkara "tidak benar" di sekeliling "sebenar" dengan masa juga ternyata sangat menarik dalam diri mereka, dan bahkan tidak begitu "tidak benar". Bagi mereka, prototaip ditemui di dunia "sebenar", dan nombor kompleks kemudiannya sangat berguna untuk menerangkan jenis ini. Antara prototaip ini, misalnya, pendulums dan gelombang. Dan sejak dari langkah-langkah pertama menjadi jelas bahawa semua perkara mempunyai sifat gelombang, kita dapat mengatakan bahawa bilangan kompleks mengelilingi kita di mana-mana.

Dan yang paling penting, nombor kompleks telah membawa harmoni tertentu kepada konsep matematik. Jadi, sebagai contoh, apabila menyelesaikan persamaan algebra dalam bilangan sebenar, kita sentiasa menghadapi persoalan: apakah persamaan ini mempunyai akar, dan jika ya, berapa banyak? Untuk persamaan yang berbeza, jawapan kepada soalan-soalan ini mungkin berbeza. Dan dengan memperkenalkan nombor kompleks, semuanya menjadi cantik dan semula jadi: setiap persamaan algebra ni ijazah mempunyai persis n akar. Dan ini hanya satu contoh.

Dengan dunia pada benang – timbunan benang yang kosong

Seperti mana yang diketahui, penulis yang telah menawarkan untuk meletakkan Gelfand sebahagian kecil daripada "peraturan" pengangka untuk pengangka a, penyebut dengan penyebut, "terancam" undang-undang pengedaran kegagalan (atau undang-undang lain).

Pengarang lain dengan cermat sekali biasa beliau mengambil keputusan untuk menyemak apa sebenarnya melanggar undang-undang ini. Dan kemudian ada kejadian! Ia ternyata bahawa jika anda mengambil "peraturan" penambahan dan jangan ubah peraturan pendarabanmaka semua undang-undang tindakan telah dipenuhi dengan sempurna.

Apakah hasilnya? Dan ternyata bahawa "pecahan" juga boleh dianggap nombor!

Pada pandangan pertama, ia seolah-olah tidak boleh difahami mengapa apa-apa objek yang mudah "terlepas" dalam matematik, mengapa ahli matematik telah dipintas perhatiannya dengan menaip bukan sangat berbeza, kaedah-kaedah yang lebih kompleks yang berkaitan dengan pasang nombor? Tetapi mengambil melihat dengan lebih dekat rapat dengan peraturan-peraturan ini mudah untuk penambahan dan pendaraban: dalam sebarang transaksi "pengangka" dan "penyebut" ini "pecahan" tidak "bercampur"! "Pengangka" hasilnya akan bergantung kepada, "pengangka" istilah atau faktor-faktor, dan "penyebut" – hanya pada "penyebut". Pengangka dan penyebut sesuatu pecahan "hidup" setiap manusia hidupnya sendiri – kehidupan yang "normal" set integer.Setiap dua "dunia" (di atas garis dan di bawah garis) akan mempunyai sifar sendiri, unitnya sendiri – sama persis dengan dunia bulat.

Pembinaan seperti ini tidak memberikan apa-apa yang baru: ia masih nombor nyata, kini hanya "berjalan" berpasangan. Ingatlah bahawa bilangan rasional adalah objek baru yang berkaitan dengan bilangan bulat, sama seperti yang rumit berkenaan dengan yang sebenar: pengenalan pertama yang dibenarkan menyelesaikan sebarang persamaan linear, pengenalan persamaan algebra kedua pada mana-mana darjah. Dalam contoh kami, tentang perkara yang sama yang dikatakan dalam jenaka dalam tajuk ayat ini berlaku: set benang bukan baju, tetapi hanya sekelompok benang …

"Dan kita lebih buruk?", Atau mengapa vektor tidak nombor?

Sebagai kesimpulan, mari kita katakan beberapa perkataan tentang satu lagi mathematical object, sama dengan yang kita baru-baru ini dipertimbangkan: vektor dua dimensi. Lagipun, ini juga mengarahkan pasang nombor! Mengapa mereka tidak menganggap nombor? Bagaimana mereka lebih buruk daripada nombor kompleks? Penambahan vektor dua dimensi benar-benar sangat mirip dengan penambahan nombor kompleks – juga sebaliknya: nombor pertama (dalam hal vektor, ia dipanggil komponen) berkembang dengan yang pertama, yang kedua – dengan yang kedua. Di sini persamaannya jelas. Ia boleh ditambah bahawa nombor kompleks sering diwakili oleh vektor dua dimensi pada apa yang dipanggil satah kompleks.

Walau bagaimanapun, inilah di mana persamaan berakhir: vektor tidak mempunyai pendaraban. Jadi dipanggil dot produk dua vektor bukan vektor – dan ini adalah keperluan utama untuk pendaraban objek yang boleh dipanggil nombor: supaya ia memberikan objek yang sama sifatnya sebagai faktor. Benar, dalam aljabar vektor mereka juga memperkenalkan produk vektor dua vektor, dan hasilnya sekali lagi vektor. Tetapi, pertama, ia wujud untuk vektor di ruang angkasa, iaitu, mempunyai tiga komponen. Dan, kedua, ia tidak memenuhi undang-undang komutatif. Kenapa (dan kenapa)? – Ini adalah topik untuk perbualan berasingan, yang melampaui batas jenaka matematik yang Gelfand diminta untuk menulis tentang.


1 Dari buku Ivan Vasilenko "Cerita tentang Artyomka. Artyomka dalam kanak-kanak tatabahasa sekolah".
2 Nombor borang bi kadang-kadang dirujuk sebagai khayalan murni.


Like this post? Please share to your friends:
Tinggalkan Balasan

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: